Упр.26.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
2. $$\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
3. $$\cos(x)=-\frac{1}{2}$$;
4. $$\cos(x)=\frac{\sqrt{5}}{2}$$;
5. $$\cos(x)=\frac{4}{7}$$.

1) $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$$

Так как $$\arccos\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{6},$$ то

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x=-\frac12$$

Так как $$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3},$$ то

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

Так как $$\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},$$ то

$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos x=\frac{\sqrt5}{2}$$

Но $$\sqrt5>2,$$ значит $$\frac{\sqrt5}{2}>1.$$

Так как значения косинуса лежат в промежутке $$[-1;1],$$ уравнение не имеет решений.

5) $$\cos x=\frac47$$

Так как $$\frac47\in[-1;1],$$ то

$$x=\pm \arccos\frac47+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ 2) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ 3) $$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ 4) решений нет; 5) $$x=\pm \arccos\frac47+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$