Упр.26.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите область определения функции:

1. $$y=\frac{x^{1/4}}{\sqrt{3x^2-5x+2}}$$;
2. $$y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{x+2}$$;
3. $$y=\sqrt{4-2\sqrt{x}}$$.

1) Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение в знаменателе было положительным, а числитель имел смысл:

$$x \ge 0,$$

$$3x^2-5x+2>0.$$

Решим неравенство:

$$3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1).$$

Тогда

$$(3x-2)(x-1)>0,$$

откуда

$$x<\frac23 \quad \text{или} \quad x>1.$$

С учётом условия $$x \ge 0$$ получаем:

$$D(y)=\left[0;\frac23\right)\cup(1;+\infty).$$

2) Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель не равнялся нулю:

$$9-x^2 \ge 0,$$

$$x+2 \ne 0.$$

Из первого неравенства:

$$x^2 \le 9,$$

$$-3 \le x \le 3.$$

Из второго условия:

$$x \ne -2.$$

Следовательно,

$$D(y)=[-3;-2)\cup(-2;3].$$

3) Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$4-2\sqrt{x}\ge 0,$$

при этом

$$x \ge 0.$$

Решим неравенство:

$$2\sqrt{x}\le 4,$$

$$\sqrt{x}\le 2,$$

$$x\le 4.$$

С учётом условия $$x \ge 0$$ получаем:

$$D(y)=[0;4].$$

Ответ

1) $$D(y)=\left[0;\frac23\right)\cup(1;+\infty).$$

2) $$D(y)=[-3;-2)\cup(-2;3].$$

3) $$D(y)=[0;4].$$