Упр.26.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 26.12. При каких значениях a уравнение cos(x-?/3)=-a^2-1 имеет решения?

Чтобы уравнение

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-a^2-1$$

имело решения, правая часть должна принадлежать промежутку значений косинуса:

$$-1\le -a^2-1\le 1.$$

Решим двойное неравенство.

$$-1\le -a^2-1$$

$$0\le -a^2$$

$$a^2\le 0.$$

Так как квадрат числа неотрицателен, то это возможно только при

$$a=0.$$

Проверим вторую часть:

$$-a^2-1\le 1$$

при любом $a$ выполняется, так как

$$-a^2-1\le -1\le 1.$$

Значит, условие существования решений выполняется только при $a=0$.

Ответ

$$a=0.$$