Упр.26.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 26.11. При каких значениях a уравнение cos(2x)=-4a^2+4a-2 имеет решения?

Чтобы уравнение $$\cos 2x=-4a^2+4a-2$$ имело решения, правая часть должна принадлежать промежутку значений косинуса:

$$-1\le -4a^2+4a-2\le 1.$$

Рассмотрим правую часть как функцию от $$a$$:

$$-4a^2+4a-2=-4\left(a-\frac12\right)^2-1.$$

Так как $$\left(a-\frac12\right)^2\ge 0,$$ то

$$-4\left(a-\frac12\right)^2-1\le -1.$$

Следовательно, условие $$-1\le -4a^2+4a-2$$ выполняется только при

$$-4\left(a-\frac12\right)^2-1=-1,$$

то есть

$$\left(a-\frac12\right)^2=0,$$

$$a=\frac12.$$

Проверим: при $$a=\frac12$$ получаем

$$-4\left(\frac12\right)^2+4\cdot\frac12-2=-1,$$

а уравнение $$\cos 2x=-1$$ имеет решения.

Ответ

$$a=\frac12.$$