Упр.26.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ уравнение $$\cos(2x)=-4a^2+4a-2$$ имеет решения?

Чтобы уравнение $$\cos 2x=-4a^2+4a-2$$ имело решения, правая часть должна принадлежать промежутку значений косинуса:

$$-1\le -4a^2+4a-2\le 1.$$

Решим двойное неравенство.

1) Из левой части:

$$-1\le -4a^2+4a-2$$

$$4a^2-4a+1\le 0$$

$$\left(2a-1\right)^2\le 0.$$

Квадрат числа неотрицателен, значит это возможно только при

$$2a-1=0,$$

$$a=\frac12.$$

2) Проверим правую часть при этом значении:

$$-4\left(\frac12\right)^2+4\cdot\frac12-2=-1,$$

а число $$-1$$ действительно принадлежит промежутку значений функции $$\cos 2x.$$

Следовательно, уравнение имеет решения только при

Ответ: $$a=\frac12.$$