Упр.26.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 26.10. Найдите все корни уравнения cos(x+?/12)=-1/2, удовлетворяющие неравенству -?/6 < x < 4?.

Решим уравнение:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{12}\right)=-\frac12.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{12}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда получаем два семейства решений:

$$x=-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{12}+2\pi n=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{12}+2\pi n=\frac{7\pi}{12}+2\pi n.$$

Теперь отберём корни, удовлетворяющие неравенству

$$-\frac{\pi}{6}

Из первого семейства:

$$x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi=\frac{5\pi}{4},$$

$$x=-\frac{3\pi}{4}+4\pi=\frac{13\pi}{4}.$$

Из второго семейства:

$$x=\frac{7\pi}{12},$$

$$x=\frac{7\pi}{12}+2\pi=\frac{31\pi}{12}.$$

Все найденные значения принадлежат промежутку $$\left(-\frac{\pi}{6},\,4\pi\right).$$

Ответ

$$\frac{7\pi}{12},\ \frac{31\pi}{12},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{13\pi}{4}.$$