Упр.26.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\cos(x)=\frac{1}{2}$$; 3) $$\cos(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 5) $$\cos(x)=\frac{?}{3}$$; 2) $$\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 4) $$\cos(x)=\frac{1}{3}$$; 6) $$\cos(x)=\frac{?}{4}$$.

Используем общий вид решений уравнения $$\cos x=a$$:

$$x=\pm \arccos a+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

1. $$\cos x=\frac12$$

   $$x=\pm \arccos \frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x=\pm \arccos \frac{\sqrt2}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$x=\pm \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$\cos x=\frac13$$

   $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

5. $$\cos x=\frac{\pi}{3}$$

   Так как $$\frac{\pi}{3}>1,$$ а значения косинуса лежат в промежутке $$[-1;1],$$ то корней нет.

6. $$\cos x=\frac{\pi}{4}$$

   Так как $$\frac{\pi}{4}>1,$$ а значения косинуса лежат в промежутке $$[-1;1],$$ то корней нет.

Ответ:

1) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ 2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ 3) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ 4) $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ 5) корней нет; 6) корней нет.