Упр.25.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Докажите, что:

1) $$16\sin(20^\circ)\sin(40^\circ)\sin(60^\circ)\sin(80^\circ)=3$$;

2) $$8\sin(10^\circ)\sin(50^\circ)\sin(70^\circ)=1$$.

Подробный ответ

1) Преобразуем произведение:

$$16\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ =16\sin 20^\circ \sin 40^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 80^\circ$$
$$=8\sqrt{3}\,\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ.$$

Используем формулу

$$2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y).$$

Тогда

$$2\sin 20^\circ \sin 40^\circ=\cos 20^\circ-\cos 60^\circ =\cos 20^\circ-\frac12,$$

и потому

$$8\sqrt{3}\,\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ =4\sqrt{3}\,\sin 80^\circ\left(\cos 20^\circ-\frac12\right).$$

$$2\sin 80^\circ \cos 20^\circ=\sin 100^\circ+\sin 60^\circ,$$

поэтому

$$4\sqrt{3}\,\sin 80^\circ\left(\cos 20^\circ-\frac12\right) =2\sqrt{3}\,(\sin 100^\circ+\sin 60^\circ-\sin 80^\circ).$$

Так как $$\sin 100^\circ=\cos 10^\circ$$, $$\sin 80^\circ=\cos 10^\circ$$ и $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ получаем

$$2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos 10^\circ-\cos 10^\circ\right)=3.$$

Следовательно,

$$16\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ=3.$$

2) Аналогично:

$$8\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ =8\sin 70^\circ \cdot \frac12\bigl(\cos 40^\circ-\cos 60^\circ\bigr)$$
$$=4\bigl(\sin 70^\circ \cos 40^\circ-\sin 70^\circ \cos 60^\circ\bigr).$$

Используем формулу

$$2\sin x\cos y=\sin(x-y)+\sin(x+y).$$

Тогда

$$2\sin 70^\circ \cos 40^\circ=\sin 30^\circ+\sin 110^\circ,$$
$$2\sin 70^\circ \cos 60^\circ=\sin 10^\circ.$$

Значит,

$$8\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ =2\bigl(\sin 30^\circ+\sin 110^\circ-\sin 70^\circ\bigr).$$

Так как $$\sin 110^\circ=\sin 70^\circ$$ и $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ получаем

$$2\left(\frac12+\sin 110^\circ-\sin 70^\circ\right)=2\cdot \frac12=1.$$

Следовательно,

$$8\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ=1.$$

Ответ: 1) $$3$$; 2) $$1$$.

Оцени решение