Упр.25.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 16sin(20°)sin(40°)sin(60°)sin(80°)=3;
2) 8sin(10°)sin(50°)sin(70°)=1.

Подробный ответ

1) Используем формулу произведения синусов:

$$2\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta).$$

Тогда

$$ 16\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ =16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ. $$

$$ 2\sin 20^\circ \sin 40^\circ=\cos 20^\circ-\cos 60^\circ, $$

поэтому

$$ 16\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ =4\sqrt{3}\,\sin 80^\circ(\cos 20^\circ-\cos 60^\circ). $$

Преобразуем:

$$ \sin 80^\circ \cos 20^\circ=\frac12\bigl(\sin 100^\circ+\sin 60^\circ\bigr), $$

$$ \sin 80^\circ \cos 60^\circ=\frac12\sin 80^\circ. $$

Тогда

$$ 4\sqrt{3}\left(\sin 80^\circ\cos 20^\circ-\sin 80^\circ\cos 60^\circ\right) =2\sqrt{3}\,(\sin 60^\circ+\sin 100^\circ-\sin 80^\circ). $$

Так как $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ а $$\sin 100^\circ=\sin(90^\circ+10^\circ)=\cos 10^\circ,$$ $$\sin 80^\circ=\sin(90^\circ-10^\circ)=\cos 10^\circ,$$ получаем

$$ 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos 10^\circ-\cos 10^\circ\right) =2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3. $$

Следовательно,

$$16\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ=3.$$

2) Аналогично применим формулу

$$2\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta).$$

Имеем

$$ 8\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ =8\sin 70^\circ \cdot \frac12\bigl(\cos 40^\circ-\cos 60^\circ\bigr). $$

Тогда

$$ =4\bigl(\sin 70^\circ\cos 40^\circ-\sin 70^\circ\cos 60^\circ\bigr). $$

Преобразуем произведения:

$$ \sin 70^\circ\cos 40^\circ=\frac12\bigl(\sin 30^\circ+\sin 110^\circ\bigr), $$

$$ \sin 70^\circ\cos 60^\circ=\frac12\sin 70^\circ. $$

Следовательно,

$$ 4\left(\frac12(\sin 30^\circ+\sin 110^\circ)-\frac12\sin 70^\circ\right) =2(\sin 30^\circ+\sin 110^\circ-\sin 70^\circ). $$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ $$\sin 110^\circ=\sin(90^\circ+20^\circ)=\cos 20^\circ,$$ $$\sin 70^\circ=\sin(90^\circ-20^\circ)=\cos 20^\circ,$$ то

$$ 2\left(\frac12+\cos 20^\circ-\cos 20^\circ\right)=1. $$

Значит,

$$8\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ=1.$$