Упр.25.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Упростите выражение:
- 1) $$\sin^2(a)+\sin^2(?)+\cos(a+?)\cos(a-?)$$; 2) $$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\sin(75^\circ-2a)\cos(75^\circ)$$.
1) $$\sin^2 a+\sin^2 \beta+\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)$$
Используем формулу произведения косинусов:
$$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\frac{1}{2}\bigl(\cos((a+\beta)-(a-\beta))+\cos((a+\beta)+(a-\beta))\bigr)$$
$$=\frac{1}{2}\bigl(\cos 2\beta+\cos 2a\bigr).$$
Тогда
$$\sin^2 a+\sin^2 \beta+\frac{1}{2}\bigl(\cos 2\beta+\cos 2a\bigr).$$
Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$\sin^2 a+\sin^2 \beta+\frac{1}{2}\bigl(1-2\sin^2 \beta+1-2\sin^2 a\bigr)=1.$$
2) $$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\sin(75^\circ-2a)\cos 75^\circ$$
Преобразуем первые два слагаемых по формуле $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:
$$\cos^2(45^\circ-a)=\frac{1+\cos(90^\circ-2a)}{2}=\frac{1+\sin 2a}{2},$$
$$\cos^2(60^\circ+a)=\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2}.$$
Также
$$\sin(75^\circ-2a)\cos 75^\circ=\frac{1}{2}\bigl(\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(150^\circ-2a)-\sin 2a\bigr).$$
Тогда
$$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\sin(75^\circ-2a)\cos 75^\circ$$
$$=\frac{1+\sin 2a}{2}-\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2}-\frac{\sin(150^\circ-2a)-\sin 2a}{2}.$$
Так как $$\cos(120^\circ+2a)=-\cos(60^\circ-2a)$$ и $$\sin(150^\circ-2a)=\sin(30^\circ+2a),$$ получаем сокращение всех дополнительных слагаемых, и остаётся
$$\sin 2a.$$
Ответ: 1) $$1$$; 2) $$\sin 2a$$.
