Упр.25.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin^2(a)+sin^2(?)+cos(a+?)cos(a-?);
2) cos^2(45°-a)-cos^2(60°+a)-sin(75°-2a)cos(75°).

1. $$\sin^2 a+\sin^2 \beta+\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)$$

   Используем формулу произведения в сумму:
   $$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\frac{1}{2}\bigl(\cos((a+\beta)-(a-\beta))+\cos((a+\beta)+(a-\beta))\bigr).$$

   Тогда
   $$\sin^2 a+\sin^2 \beta+\frac{1}{2}(\cos 2\beta+\cos 2a).$$

   По формуле $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$ получаем:
   $$\sin^2 a+\sin^2 \beta+\frac{1}{2}\bigl((1-2\sin^2 \beta)+(1-2\sin^2 a)\bigr).$$

   Упростим:
   $$\sin^2 a+\sin^2 \beta+\frac{1}{2}(2-2\sin^2 a-2\sin^2 \beta)=1.$$

2. $$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\sin(75^\circ-2a)\cos 75^\circ$$

   Преобразуем квадраты косинусов:
   $$\cos^2(45^\circ-a)=\frac{1+\cos(90^\circ-2a)}{2},$$
   $$\cos^2(60^\circ+a)=\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2}.$$

   Также
   $$\sin(75^\circ-2a)\cos 75^\circ=\frac{1}{2}\bigl(\sin((75^\circ-2a)+75^\circ)+\sin((75^\circ-2a)-75^\circ)\bigr).$$

   Значит,
   $$\sin(75^\circ-2a)\cos 75^\circ=\frac{1}{2}\bigl(\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)\bigr).$$

   Подставим и упростим:
   $$ \frac{1+\cos(90^\circ-2a)}{2}-\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2} -\frac{\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)}{2}. $$

   Так как $$\cos(90^\circ-2a)=\sin 2a,$$ $$\cos(120^\circ+2a)=-\cos(60^\circ-2a),$$
   $$\sin(-2a)=-\sin 2a,$$ а $$\sin(150^\circ-2a)=\sin(30^\circ+2a),$$ получаем:
   $$\frac{2\sin 2a+\sin(30^\circ+2a)-\sin(30^\circ+2a)}{2}=\sin 2a.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\sin 2a$$.