Упр.25.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$\sin^2(a)+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right);$$
   2) $$\cos^2(a)+\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(a-\frac{\pi}{3}\right);$$
   3) $$\cos^2(45^\circ+a)-\cos^2(30^\circ-a)+\sin(15^\circ)\sin(75^\circ-2a).$$

1) Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos x\cos y=\frac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr).$$

Тогда

$$\sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right) =\sin^2 a+\frac12\left(\cos 2a+\cos\frac{2\pi}{3}\right).$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ а $$\sin^2 a=\frac{1-\cos 2a}{2},$$ получаем

$$\sin^2 a+\frac12\left(\cos 2a-\frac12\right) =\frac{1-\cos 2a}{2}+\frac{\cos 2a}{2}-\frac14 =\frac14.$$

Ответ: $$\frac14$$.

2) Применим ту же формулу:

$$\cos^2 a+\cos^2 \beta-\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)$$

$$=\cos^2 a+\cos^2 \beta-\frac12\bigl(\cos 2\beta+\cos 2a\bigr).$$

Преобразуем квадрат косинуса:

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Тогда

$$\cos^2 a+\cos^2 \beta-\frac12\bigl(\cos 2\beta+\cos 2a\bigr)$$

$$=\frac{1+\cos 2a}{2}+\frac{1+\cos 2\beta}{2}-\frac12\cos 2\beta-\frac12\cos 2a =1.$$

Ответ: $$1$$.

3) Используем формулы понижения степени и произведения синусов:

$$\cos^2(45^\circ+a)-\cos^2(30^\circ-a)+\sin 15^\circ\cdot \sin(75^\circ-2a).$$

$$\cos^2(45^\circ+a)=\frac{1+\cos(90^\circ+2a)}{2}=\frac{1-\sin 2a}{2},$$

$$\cos^2(30^\circ-a)=\frac{1+\cos(60^\circ-2a)}{2}.$$

Кроме того,

$$\sin 15^\circ\sin(75^\circ-2a)=\frac12\bigl(\cos(60^\circ-2a)-\cos(90^\circ-2a)\bigr).$$

Подставим:

$$\frac{1-\sin 2a}{2}-\frac{1+\cos(60^\circ-2a)}{2} +\frac12\bigl(\cos(60^\circ-2a)-\cos(90^\circ-2a)\bigr).$$

Сокращая, получаем

$$\frac{-\sin 2a-\cos(90^\circ-2a)}{2}.$$

Так как $$\cos(90^\circ-2a)=\sin 2a,$$ то

$$\frac{-\sin 2a-\sin 2a}{2}=-\sin 2a.$$

Ответ: $$-\sin 2a$$.