Упр.25.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin^2(a)+cos(?/3-a)cos(?/3+a);
2) cos^2(a)+cos^2(?)-cos(a+?)cos(a-?);
3) cos^2(45°+a)-cos^2(30°-a)+sin(15°)sin(75°-2a).

1. $$\sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)$$
   Используем формулу произведения косинусов:
   $$\cos x\cos y=\frac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr).$$
   Тогда
   $$\sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)$$
   $$=\sin^2 a+\frac12\left(\cos 2a+\cos\frac{2\pi}{3}\right).$$
   Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ а $$\cos 2a=1-2\sin^2 a,$$ получаем
   $$ \sin^2 a+\frac12\left(1-2\sin^2 a-\frac12\right) =\sin^2 a+\frac14-\sin^2 a =\frac14. $$

2. $$\cos^2 a+\cos^2\beta-\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)$$
   Применим формулу:
   $$\cos x\cos y=\frac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr).$$
   Тогда
   $$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\frac12\bigl(\cos 2\beta+\cos 2a\bigr).$$
   Следовательно,
   $$ \cos^2 a+\cos^2\beta-\frac12\bigl(\cos 2\beta+\cos 2a\bigr). $$
   Подставим
   $$\cos 2a=2\cos^2 a-1,\qquad \cos 2\beta=2\cos^2\beta-1.$$
   Получаем
   $$ \cos^2 a+\cos^2\beta-\frac12\bigl(2\cos^2\beta-1+2\cos^2 a-1\bigr)=1. $$

3. $$\cos^2(45^\circ+a)-\cos^2(30^\circ-a)+\sin 15^\circ\cdot\sin(75^\circ-2a)$$
   Используем формулы:
   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin u\sin v=\frac12\bigl(\cos(u-v)-\cos(u+v)\bigr).$$
   Тогда
   $$ \cos^2(45^\circ+a)=\frac{1+\cos(90^\circ+2a)}{2}=\frac{1-\sin 2a}{2}, $$
   $$ \cos^2(30^\circ-a)=\frac{1+\cos(60^\circ-2a)}{2}, $$
   $$ \sin 15^\circ\sin(75^\circ-2a)=\frac12\bigl(\cos(60^\circ-2a)-\cos(90^\circ-2a)\bigr). $$
   Подставим:
   $$ \frac{1-\sin 2a}{2}-\frac{1+\cos(60^\circ-2a)}{2} +\frac12\bigl(\cos(60^\circ-2a)-\cos(90^\circ-2a)\bigr). $$
   Так как $$\cos(90^\circ-2a)=\sin 2a,$$ получаем
   $$ \frac{1-\sin 2a-1-\cos(60^\circ-2a)+\cos(60^\circ-2a)-\sin 2a}{2} =-\sin 2a. $$

Ответ

1) $$\frac14$$;
2) $$1$$;
3) $$-\sin 2a$$.