Упр.25.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(3a)cos(6a)-cos(4a)cos(7a)=sin(10a)sin(a);
2) 2cos(a/2)sin(a/4+15°)cos(a/4-15°)=sin(45°+a/4)cos(45°-3a/4).

1. Преобразуем произведения косинусов по формуле
   $$\cos x \cos y=\frac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr).$$

   Тогда
   $$ \cos 3a\cos 6a-\cos 4a\cos 7a= \frac12\bigl(\cos(6a-3a)+\cos(6a+3a)\bigr) -\frac12\bigl(\cos(7a-4a)+\cos(7a+4a)\bigr). $$

   Получаем
   $$ =\frac12(\cos 3a+\cos 9a)-\frac12(\cos 3a+\cos 11a) =\frac12(\cos 9a-\cos 11a). $$

   Применим формулу
   $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$

   Тогда
   $$ \frac12(\cos 9a-\cos 11a) =\frac12\cdot(-2)\sin\frac{9a+11a}{2}\sin\frac{9a-11a}{2} =\sin 10a\sin a. $$

   Тождество доказано.

2. Используем формулу
   $$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y).$$

   Сначала преобразуем произведение
   $$2\sin\left(\frac a4+15^\circ\right)\cos\left(\frac a4-15^\circ\right).$$

   Тогда
   $$ 2\sin\left(\frac a4+15^\circ\right)\cos\left(\frac a4-15^\circ\right) =\sin\left(\frac a2\right)+\sin 30^\circ. $$

   Следовательно,
   $$ 2\cos\frac a2\cdot \sin\left(\frac a4+15^\circ\right)\cos\left(\frac a4-15^\circ\right) =\cos\frac a2\left(\sin\frac a2+\sin 30^\circ\right). $$

   Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ то
   $$ =\cos\frac a2\sin\frac a2+\frac12\cos\frac a2 =\frac12\sin a+\frac12\cos\frac a2. $$

   Теперь представим сумму в виде произведения:
   $$ \frac12\left(\sin a+\cos\frac a2\right) =\frac12\left(\sin\left(\frac\pi2-\frac a2\right)+\sin a\right). $$

   По формуле
   $$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$$
   получаем
   $$ \frac12\left(\sin\left(\frac\pi2-\frac a2\right)+\sin a\right) =\sin\left(\frac\pi4+\frac a4\right)\cos\left(\frac\pi4-\frac{3a}{4}\right). $$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\cos 3a\cos 6a-\cos 4a\cos 7a=\sin 10a\sin a.$$
2) $$2\cos\frac a2\sin\left(\frac a4+15^\circ\right)\cos\left(\frac a4-15^\circ\right)=\sin\left(45^\circ+\frac a4\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3a}{4}\right).$$