Упр.25.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

1. $$\sin(a)\sin(3a)+\sin(4a)\sin(8a)=\sin(7a)\sin(5a);$$
2. $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+5a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+2a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-6a\right)=\sin(4a)\cos(a).$$

1) Преобразуем произведения в суммы:

$$\sin a \sin 3a+\sin 4a \sin 8a =\frac12(\cos 2a-\cos 4a)+\frac12(\cos 4a-\cos 12a).$$

Тогда

$$\frac12(\cos 2a-\cos 12a) =-\frac12(\cos 12a-\cos 2a).$$

По формуле разности косинусов получаем:

$$-\frac12(\cos 12a-\cos 2a) =-\frac12\left(-2\sin\frac{12a+2a}{2}\sin\frac{12a-2a}{2}\right) =\sin 7a \sin 5a.$$

Следовательно,

$$\sin a \sin 3a+\sin 4a \sin 8a=\sin 7a \sin 5a.$$

2) Используем формулы произведения в сумму:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+5a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+2a\right) =\frac12\left(\sin 3a+\sin\left(\frac{\pi}{2}+7a\right)\right),$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-6a\right) =\frac12\left(\cos 7a-\cos\left(\frac{\pi}{2}-5a\right)\right).$$

Тогда левая часть равна

$$\frac12\left(\sin 3a+\sin\left(\frac{\pi}{2}+7a\right)\right) -\frac12\left(\cos 7a-\cos\left(\frac{\pi}{2}-5a\right)\right).$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+7a\right)=\cos 7a$$ и $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-5a\right)=\sin 5a,$$ получаем

$$\frac12(\sin 3a+\cos 7a)-\frac12(\cos 7a-\sin 5a) =\frac12(\sin 3a+\sin 5a).$$

Применим формулу суммы синусов:

$$\frac12(\sin 3a+\sin 5a) =\frac12\cdot 2\sin\frac{3a+5a}{2}\cos\frac{5a-3a}{2} =\sin 4a \cos a.$$

Итак, тождество доказано.

Ответ:

1) $$\sin a \sin 3a+\sin 4a \sin 8a=\sin 7a \sin 5a.$$

2) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+5a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+2a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-6a\right)=\sin 4a \cos a.$$