Упр.25.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$2\sin(2a)\sin(a)+\cos(3a)$$;
   б) $$\sin(a)-2\sin\left(\frac{a}{2}-\frac{?}{12}\right)\cos\left(\frac{a}{2}+\frac{?}{12}\right)$$.

1) Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin 2a\sin a=\cos(2a-a)-\cos(2a+a)=\cos a-\cos 3a.$$

Тогда

$$2\sin 2a\sin a+\cos 3a=\cos a-\cos 3a+\cos 3a=\cos a.$$

2) Применим формулу произведения в сумму:

$$2\sin\left(\frac a2-\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac a2+\frac{\pi}{12}\right)=\sin\left(\frac a2-\frac{\pi}{12}+\frac a2+\frac{\pi}{12}\right)+\sin\left(\frac a2-\frac{\pi}{12}-\frac a2-\frac{\pi}{12}\right).$$

Получаем

$$2\sin\left(\frac a2-\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac a2+\frac{\pi}{12}\right)=\sin a+\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sin a-\frac12.$$

Тогда

$$\sin a-2\sin\left(\frac a2-\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac a2+\frac{\pi}{12}\right)=\sin a-\left(\sin a-\frac12\right)=\frac12.$$

Ответ

1) $$\cos a$$; 2) $$\frac12$$.