Упр.25.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$2\cos 20^\circ\cos 40^\circ-\cos 20^\circ$$;
   3) $$2\cos a\cos 2a-\cos 3a$$;
   2) $$\sin a(1+2\cos 2a)$$;
   4) $$\cos 2a+2\sin(a+30^\circ)\sin(a-30^\circ)$$.

Используем формулу произведения косинусов:

$$2\cos x\cos y=\cos(x-y)+\cos(x+y).$$

Ход решения

1. $$2\cos 20^\circ\cos 40^\circ-\cos 20^\circ$$

   $$= \cos(40^\circ-20^\circ)+\cos(40^\circ+20^\circ)-\cos 20^\circ$$

   $$= \cos 20^\circ+\cos 60^\circ-\cos 20^\circ=\cos 60^\circ=\frac12.$$

2. $$\sin a\,(1+2\cos 2a)$$

   $$= \sin a+2\sin a\cos 2a$$

   $$= \sin a+\sin(a-2a)+\sin(a+2a)$$

   $$= \sin a+\sin(-a)+\sin 3a=\sin a-\sin a+\sin 3a=\sin 3a.$$

3. $$2\cos a\cos 2a-\cos 3a$$

   $$= \cos(2a-a)+\cos(2a+a)-\cos 3a$$

   $$= \cos a+\cos 3a-\cos 3a=\cos a.$$

4. $$\cos 2a+2\sin(a+30^\circ)\sin(a-30^\circ)$$

   $$= \cos 2a+\cos\bigl((a+30^\circ)-(a-30^\circ)\bigr)-\cos\bigl((a+30^\circ)+(a-30^\circ)\bigr)$$

   $$= \cos 2a+\cos 60^\circ-\cos 2a=\cos 60^\circ=\frac12.$$

Ответ

1) $$\frac12$$; 2) $$\sin 3a$$; 3) $$\cos a$$; 4) $$\frac12$$.