Упр.25.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 2cos(?/8)cos(?/5); 3) sin(5a)sin(3a);
2) sin(28°)cos(24°); 4) sin(?/6+a)sin(?/6-a).

1. Используем формулу произведения косинусов:

   $$2\cos x \cos y=\cos(x-y)+\cos(x+y).$$

   Тогда

   $$2\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{8}\right).$$

   Вычислим углы:

   $$\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{8}=\frac{8\pi-5\pi}{40}=\frac{3\pi}{40}, \qquad \frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{8}=\frac{8\pi+5\pi}{40}=\frac{13\pi}{40}.$$

   Получаем:

   $$2\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{5}=\cos\frac{3\pi}{40}+\cos\frac{13\pi}{40}.$$

2. Используем формулу:

   $$\sin x \cos y=\frac{1}{2}\bigl(\sin(x-y)+\sin(x+y)\bigr).$$

   Тогда

   $$\sin 28^\circ \cos 24^\circ=\frac{1}{2}\bigl(\sin(28^\circ-24^\circ)+\sin(28^\circ+24^\circ)\bigr).$$

   Следовательно,

   $$\sin 28^\circ \cos 24^\circ=\frac{1}{2}\bigl(\sin 4^\circ+\sin 52^\circ\bigr).$$

3. Используем формулу произведения синусов:

   $$\sin x \sin y=\frac{1}{2}\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr).$$

   Тогда

   $$\sin 5a \sin 3a=\frac{1}{2}\bigl(\cos(5a-3a)-\cos(5a+3a)\bigr).$$

   Получаем:

   $$\sin 5a \sin 3a=\frac{1}{2}\bigl(\cos 2a-\cos 8a\bigr).$$

4. Применим ту же формулу:

   $$\sin x \sin y=\frac{1}{2}\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr).$$

   Тогда

   $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(\frac{\pi}{6}+a\right)-\left(\frac{\pi}{6}-a\right)\right)-\cos\left(\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\left(\frac{\pi}{6}-a\right)\right)\right).$$

   Упростим:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2a-\cos\frac{\pi}{3}\right).$$

   Так как $$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},$$ то

   $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2a-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\cos 2a-1}{4}.$$

Ответ

1) $$\cos\frac{3\pi}{40}+\cos\frac{13\pi}{40}$$; 2) $$\frac{1}{2}\bigl(\sin 4^\circ+\sin 52^\circ\bigr)$$; 3) $$\frac{1}{2}\bigl(\cos 2a-\cos 8a\bigr)$$; 4) $$\frac{2\cos 2a-1}{4}$$.