Упр.25.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Преобразуйте в сумму произведение:
- $$2\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{5}$$;
- $$\sin(5a)\sin(3a)$$;
- $$\sin 28^\circ\cos 24^\circ$$;
- $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-a\right)$$.
Используем формулы преобразования произведения в сумму:
$$2\cos \alpha \cos \beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta),$$
$$\sin \alpha \cos \beta=\frac12\bigl(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\bigr),$$
$$\sin \alpha \sin \beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr).$$
$$2\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{5}\right).$$
$$\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{5}=\frac{5\pi-8\pi}{40}=-\frac{3\pi}{40}, \qquad \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{5}=\frac{5\pi+8\pi}{40}=\frac{13\pi}{40}.$$
Так как $$\cos(-x)=\cos x,$$ получаем
$$2\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{5}=\cos \frac{3\pi}{40}+\cos \frac{13\pi}{40}.$$
$$\sin 28^\circ \cos 24^\circ=\frac12\bigl(\sin(28^\circ-24^\circ)+\sin(28^\circ+24^\circ)\bigr).$$
$$\sin 28^\circ \cos 24^\circ=\frac12(\sin 4^\circ+\sin 52^\circ).$$
$$\sin 5a \sin 3a=\frac12\bigl(\cos(5a-3a)-\cos(5a+3a)\bigr).$$
$$\sin 5a \sin 3a=\frac12(\cos 2a-\cos 8a).$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\frac12\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+a-\left(\frac{\pi}{6}-a\right)\right)-\cos\left(\frac{\pi}{6}+a+\frac{\pi}{6}-a\right)\right).$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\frac12\left(\cos 2a-\cos \frac{\pi}{3}\right).$$
Так как $$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12,$$ то
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\frac12\left(\cos 2a-\frac12\right)=\frac{2\cos 2a-1}{4}.$$
Ответ: 1) $$\cos \frac{3\pi}{40}+\cos \frac{13\pi}{40}$$; 2) $$\frac12(\sin 4^\circ+\sin 52^\circ)$$; 3) $$\frac12(\cos 2a-\cos 8a)$$; 4) $$\frac{2\cos 2a-1}{4}$$.
