Упр.25.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 25.12. Докажите равенство cos(?/19)+cos(3?/19)+…+cos(17?/19)=1/2.

Подробный ответ

Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin \alpha \cos \beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta).$$

Тогда

$$ 2\sin \frac{\pi}{19}\left(\cos \frac{\pi}{19}+\cos \frac{3\pi}{19}+\cdots+\cos \frac{17\pi}{19}\right) $$

$$ =\left(\sin 0+\sin \frac{2\pi}{19}\right)+\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{19}\right)+\sin \frac{4\pi}{19}\right)+\cdots+\left(\sin\left(-\frac{16\pi}{19}\right)+\sin \frac{18\pi}{19}\right). $$

Сумма попарно сокращается, и остаётся

$$ 2\sin \frac{\pi}{19}\left(\cos \frac{\pi}{19}+\cos \frac{3\pi}{19}+\cdots+\cos \frac{17\pi}{19}\right) =\sin \frac{18\pi}{19}. $$

Так как $$\sin \frac{18\pi}{19}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{19}\right)=\sin \frac{\pi}{19},$$ получаем

$$ 2\sin \frac{\pi}{19}\left(\cos \frac{\pi}{19}+\cos \frac{3\pi}{19}+\cdots+\cos \frac{17\pi}{19}\right) =\sin \frac{\pi}{19}. $$

Делим обе части на $$2\sin \frac{\pi}{19}$$:

$$ \cos \frac{\pi}{19}+\cos \frac{3\pi}{19}+\cdots+\cos \frac{17\pi}{19} =\frac{1}{2}. $$