Упр.25.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) cos(2?/7)+cos(4?/7)+cos(6?/7)=-1/2;
2) sin(10°)+sin(20°)+…+sin(50°)=sin(25°)/(2sin(5°)).

Подробный ответ

1) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

Тогда

$$ \cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7} =2\sin \frac{\pi}{7}\left(\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}\right)\Big/ 2\sin \frac{\pi}{7}. $$

Преобразуем каждое слагаемое:

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7} =\sin \frac{3\pi}{7}+\sin \left(-\frac{\pi}{7}\right), $$

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7} =\sin \frac{5\pi}{7}+\sin \left(-\frac{3\pi}{7}\right), $$

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{6\pi}{7} =\sin \pi+\sin \left(-\frac{5\pi}{7}\right). $$

Складывая, получаем:

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\left(\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}\right) = -\sin \frac{\pi}{7}+\sin \frac{3\pi}{7}-\sin \frac{3\pi}{7}+\sin \frac{5\pi}{7}-\sin \frac{5\pi}{7}+0. $$

Значит,

$$ \cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7} =\frac{-\sin \frac{\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}} =-\frac12. $$

2) Сгруппируем слагаемые попарно, используя формулу

$$ 2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y). $$

Тогда

$$ 2\sin 5^\circ\left(\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ\right) $$

$$ =(\cos 5^\circ-\cos 15^\circ)+(\cos 15^\circ-\cos 25^\circ)+(\cos 25^\circ-\cos 35^\circ)+(\cos 35^\circ-\cos 45^\circ)+(\cos 45^\circ-\cos 55^\circ). $$

После сокращения получаем:

$$ 2\sin 5^\circ\left(\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ\right) =\cos 5^\circ-\cos 55^\circ. $$

Теперь применим формулу разности косинусов:

$$ \cos 5^\circ-\cos 55^\circ =-2\sin 30^\circ\sin(-25^\circ) =2\sin 30^\circ\sin 25^\circ =\sin 25^\circ. $$

Следовательно,

$$ \sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ =\frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}. $$