Упр.25.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Докажите равенство:
1) $$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}$$;
2) $$\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\ldots+\sin 50^\circ=\frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}$$.

Подробный ответ

1) Используем формулу

$$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y).$$

Тогда

$$2\sin\frac{\pi}{7}\left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\right)$$

$$=\left(\sin\frac{3\pi}{7}+\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)\right) +\left(\sin\frac{5\pi}{7}+\sin\left(-\frac{3\pi}{7}\right)\right) +\left(\sin\pi+\sin\left(-\frac{5\pi}{7}\right)\right).$$

С учётом того, что $$\sin\pi=0,$$ получаем

$$2\sin\frac{\pi}{7}\left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\right) =\sin\frac{3\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{5\pi}{7}-\sin\frac{3\pi}{7}-\sin\frac{5\pi}{7}.$$

Значит,

$$2\sin\frac{\pi}{7}\left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\right) =-\sin\frac{\pi}{7}.$$

Делим обе части на $$2\sin\frac{\pi}{7}$$:

$$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7} =-\frac12.$$

2) Преобразуем сумму:

$$2\sin 5^\circ\left(\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ\right)$$

$$=(\cos 5^\circ-\cos 15^\circ)+(\cos 15^\circ-\cos 25^\circ)+(\cos 25^\circ-\cos 35^\circ)+(\cos 35^\circ-\cos 45^\circ)+(\cos 45^\circ-\cos 55^\circ).$$

После сокращения получаем

$$2\sin 5^\circ\left(\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ\right) =\cos 5^\circ-\cos 55^\circ.$$

По формуле

$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

имеем

$$\cos 5^\circ-\cos 55^\circ =-2\sin 30^\circ\sin(-25^\circ) =2\cdot\frac12\sin 25^\circ =\sin 25^\circ.$$

Тогда

$$2\sin 5^\circ\left(\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ\right)=\sin 25^\circ,$$

откуда

$$\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ =\frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}.$$