Упр.25.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 25.10. Докажите тождество 4sin(a/2)cos(30°-a/2)sin(60°-a/2)=sin(3a/2).

Преобразуем левую часть, используя формулу произведения в сумму:

$$ 4\sin\frac a2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right) $$

$$ =2\left(\sin\left(\frac a2+30^\circ-\frac a2\right)+\sin\left(\frac a2-30^\circ+\frac a2\right)\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right) $$

$$ =2\left(\sin 30^\circ+\sin(a-30^\circ)\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right). $$

Теперь применим формулу произведения синусов:

$$ 2\sin(a-30^\circ)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right) =\cos\left(\frac{3a}{2}-90^\circ\right)-\cos\left(30^\circ+\frac a2\right). $$

Тогда

$$ 4\sin\frac a2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right) $$

$$ =\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)+\cos\left(\frac{3a}{2}-90^\circ\right)-\cos\left(30^\circ+\frac a2\right). $$

Используем тождество $$\cos\left(x-90^\circ\right)=\sin x$$:

$$ \cos\left(\frac{3a}{2}-90^\circ\right)=\sin\frac{3a}{2}. $$

Кроме того,

$$ \sin\left(60^\circ-\frac a2\right)=\cos\left(30^\circ+\frac a2\right). $$

Следовательно, эти слагаемые сокращаются, и остаётся

$$ 4\sin\frac a2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)=\sin\frac{3a}{2}. $$

Ответ

Тождество доказано.