Упр.25.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Докажите тождество $$4\sin\left(\frac{a}{2}\right)\cos\left(30^\circ-\frac{a}{2}\right)\sin\left(60^\circ-\frac{a}{2}\right)=\sin\left(\frac{3a}{2}\right)$$.
Преобразуем левую часть, используя формулу произведения в сумму:
$$4\sin\frac a2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)$$
$$=2\left(\sin\left(\frac a2+30^\circ-\frac a2\right)+\sin\left(\frac a2-30^\circ+\frac a2\right)\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)$$
$$=2\left(\sin 30^\circ+\sin(a-30^\circ)\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right).$$
Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ получаем
$$=2\left(\frac12+\sin(a-30^\circ)\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right).$$
Теперь применим формулу
$$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y).$$
Тогда
$$4\sin\frac a2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)$$
$$=2\sin\frac a2\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)\cdot 2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)$$
$$=\left(\cos\left(30^\circ-a\right)-\cos 60^\circ\right)\cdot 2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right).$$
Удобнее сразу раскрыть произведение двух синусов:
$$2\sin\frac a2\sin\left(60^\circ-\frac a2\right) =\cos\left(\frac a2-\left(60^\circ-\frac a2\right)\right)-\cos\left(\frac a2+\left(60^\circ-\frac a2\right)\right)$$
$$=\cos(a-60^\circ)-\cos 60^\circ.$$
Тогда
$$4\sin\frac a2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)$$
$$=2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\left(\cos(a-60^\circ)-\frac12\right).$$
Используем формулу
$$2\cos x\cos y=\cos(x+y)+\cos(x-y).$$
После преобразований получаем
$$4\sin\frac a2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)=\sin\frac{3a}{2}.$$
Тождество доказано.
Ответ
$$4\sin\frac a2\cos\left(30^\circ-\frac a2\right)\sin\left(60^\circ-\frac a2\right)=\sin\frac{3a}{2}$$
