Упр.25.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Преобразуйте в сумму произведение:

• 1) $$\cos(15^\circ)\cos(5^\circ)$$;
• 3) $$2\sin\left(\frac{?}{10}\right)\cos\left(\frac{?}{40}\right)$$;
• 5) $$2\sin(a)\sin(2a)$$;
• 2) $$2\cos(3a)\cos(2a)$$;
• 4) $$\sin(48^\circ)\sin(74^\circ)$$;
• 6) $$\sin(60^\circ+a)\sin(60^\circ-a)$$.

Используем формулы:

$$\cos x \cos y=\frac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr),$$

$$2\cos x \cos y=\cos(x-y)+\cos(x+y),$$

$$2\sin x \cos y=\sin(x-y)+\sin(x+y),$$

$$\sin x \sin y=\frac12\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr).$$

1. $$\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ=\frac12\bigl(\cos(15^\circ-5^\circ)+\cos(15^\circ+5^\circ)\bigr)=\frac12(\cos 10^\circ+\cos 20^\circ).$$

2. $$2\cos 3a \cdot \cos 2a=\cos(3a-2a)+\cos(3a+2a)=\cos a+\cos 5a.$$

3. $$2\sin \frac{\pi}{10}\cdot \cos \frac{\pi}{40}=\sin\left(\frac{\pi}{10}-\frac{\pi}{40}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{40}\right)$$

   $$=\sin \frac{3\pi}{40}+\sin \frac{5\pi}{40}=\sin \frac{3\pi}{40}+\sin \frac{\pi}{8}.$$

4. $$\sin 48^\circ \cdot \sin 74^\circ=\frac12\bigl(\cos(74^\circ-48^\circ)-\cos(74^\circ+48^\circ)\bigr)=\frac12(\cos 26^\circ-\cos 122^\circ).$$

5. $$2\sin a \cdot \sin 2a=\cos(2a-a)-\cos(2a+a)=\cos a-\cos 3a.$$

6. $$\sin(60^\circ+a)\cdot \sin(60^\circ-a)=\frac12\bigl(\cos((60^\circ+a)-(60^\circ-a))-\cos((60^\circ+a)+(60^\circ-a))\bigr)$$

   $$=\frac12(\cos 2a-\cos 120^\circ)=\frac12\left(\cos 2a+\frac12\right)=\frac{2\cos 2a+1}{4}.$$