Упр.24.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) 1-2sin(a); 2) v3-2cos(a); 3) v2+2cos(a).
Используем формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:
$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
$$1-2\sin a=2\left(\frac12-\sin a\right)=2\left(\sin\frac{\pi}{6}-\sin a\right)$$
$$=2\cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)$$
$$=4\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right).$$
$$\sqrt{3}-2\cos a=-2\left(\cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2\left(\cos a-\cos\frac{\pi}{6}\right)$$
$$=-2\cdot\left(-2\sin\frac{a-\pi/6}{2}\sin\frac{a+\pi/6}{2}\right)$$
$$=4\sin\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{12}\right).$$
$$\sqrt{2}+2\cos a=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos a\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+\cos a\right)$$
$$=2\cdot 2\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{a}{2}\right)$$
$$=4\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{a}{2}\right).$$
Ответ
$$1-2\sin a=4\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)$$
$$\sqrt{3}-2\cos a=4\sin\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$$
$$\sqrt{2}+2\cos a=4\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{a}{2}\right)$$
