Упр.24.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Преобразуйте в произведение:

1. $$1-2\cos(a)$$;
2. $$\sqrt{3}+2\cos(a)$$;
3. $$1-\sqrt{2}\sin(a)$$.

1) $$1-2\cos a=-2\left(\cos a-\frac12\right)=-2\left(\cos a-\cos\frac{\pi}{3}\right)$$

$$=-2\cdot\left(-2\sin\frac{a+\pi/3}{2}\cdot\sin\frac{a-\pi/3}{2}\right)=4\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{6}\right).$$

2) $$\sqrt3+2\cos a=2\left(\frac{\sqrt3}{2}+\cos a\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+\cos a\right)$$

$$=2\cdot 2\cos\left(\frac{\pi/6+a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi/6-a}{2}\right)=4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{a}{2}\right).$$

3) $$1-\sqrt2\sin a=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-\sin a\right)=\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}-\sin a\right)$$

$$=\sqrt2\cdot 2\sin\left(\frac{\pi/4-a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi/4+a}{2}\right)=2\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{a}{2}\right).$$

Ответ

$$1-2\cos a=4\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{6}\right),$$

$$\sqrt3+2\cos a=4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{a}{2}\right),$$

$$1-\sqrt2\sin a=2\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{a}{2}\right).$$