Упр.24.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 1-2cos(a); 2) v3+2cos(a); 3) 1-v2sin(a).

1) $$1-2\cos a=-2\left(\cos a-\frac12\right)=-2\left(\cos a-\cos\frac{\pi}{3}\right).$$

Используем формулу

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$

Тогда

$$1-2\cos a=-2\cdot(-2)\sin\left(\frac{a+\pi/3}{2}\right)\sin\left(\frac{a-\pi/3}{2}\right)=4\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{6}\right).$$

2) $$\sqrt{3}+2\cos a=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos a\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+\cos a\right).$$

Используем формулу

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Тогда

$$\sqrt{3}+2\cos a=2\cdot 2\cos\left(\frac{a+\pi/6}{2}\right)\cos\left(\frac{a-\pi/6}{2}\right)=4\cos\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{12}\right).$$

3) $$1-\sqrt{2}\sin a=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin a\right)=\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4}-\sin a\right).$$

Используем формулу

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$

Тогда

$$1-\sqrt{2}\sin a=\sqrt{2}\cdot 2\cos\left(\frac{\pi/4+a}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi/4-a}{2}\right).$$

Преобразуем знак:

$$1-\sqrt{2}\sin a=2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{a}{2}\right).$$

Ответ

$$1-2\cos a=4\sin\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{6}\right),$$
$$\sqrt{3}+2\cos a=4\cos\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{12}\right),$$
$$1-\sqrt{2}\sin a=2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{a}{2}\right).$$