Упр.24.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Преобразуйте в произведение:
   а) $$\sin 25^\circ+\cos 55^\circ$$;
   б) $$\cos 22^\circ-\sin 66^\circ$$;
   в) $$\sin a+\cos(?)$$.

Используем формулы приведения и формулу суммы в произведение:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2},$$
$$\cos x-\sin y=\cos x+\cos\left(\frac{\pi}{2}+y\right).$$

Ход решения

1. $$\sin 25^\circ+\cos 55^\circ=\sin 25^\circ+\sin 35^\circ$$
   $$=2\sin\frac{25^\circ+35^\circ}{2}\cos\frac{25^\circ-35^\circ}{2}$$
   $$=2\sin 30^\circ\cos 5^\circ.$$

2. $$\cos 22^\circ-\sin 66^\circ=\cos 22^\circ-\cos 24^\circ$$
   $$=\sin 68^\circ-\sin 66^\circ$$
   $$=2\sin\frac{68^\circ+66^\circ}{2}\cos\frac{68^\circ-66^\circ}{2}$$
   $$=2\sin 67^\circ\cos 1^\circ.$$

3. $$\sin a+\cos\beta=\sin a+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)$$
   $$=2\sin\frac{a+\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{2}\cos\frac{a-\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{2}$$
   $$=2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{a+\beta}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ

$$1)\;2\sin 30^\circ\cos 5^\circ;\quad 2)\;2\sin 67^\circ\cos 1^\circ;\quad 3)\;2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{a+\beta}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$