Упр.24.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(25°)+cos(55°); 2) cos(22°)-sin(66°); 3) sin(a)+cos(?).

1. $$\sin 25^\circ+\cos 55^\circ=\sin 25^\circ+\sin(90^\circ-55^\circ)=\sin 25^\circ+\sin 35^\circ.$$

   Применим формулу суммы синусов:
   $$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

   Тогда
   $$ \sin 25^\circ+\sin 35^\circ =2\sin\frac{25^\circ+35^\circ}{2}\cos\frac{25^\circ-35^\circ}{2} =2\sin 30^\circ\cos 5^\circ. $$

2. $$\cos 22^\circ-\sin 66^\circ=\cos 22^\circ-\cos(90^\circ-66^\circ)=\cos 22^\circ-\cos 24^\circ.$$

   Используем формулу разности косинусов:
   $$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$

   Тогда
   $$ \cos 22^\circ-\cos 24^\circ =-2\sin\frac{22^\circ+24^\circ}{2}\sin\frac{22^\circ-24^\circ}{2} =2\sin 23^\circ\sin 1^\circ. $$

3. $$\sin a+\cos b=\sin a+\sin\left(\frac{\pi}{2}-b\right).$$

   Применим формулу суммы синусов:
   $$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

   Получаем
   $$ \sin a+\sin\left(\frac{\pi}{2}-b\right) =2\sin\frac{a+\frac{\pi}{2}-b}{2}\cos\frac{a-\left(\frac{\pi}{2}-b\right)}{2}. $$

   То есть
   $$ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}-\frac{\pi}{4}\right). $$

Ответ

1) $$2\sin 30^\circ\cos 5^\circ$$

2) $$2\sin 23^\circ\sin 1^\circ$$

3) $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$