Упр.24.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(20°)+cos(20°); 2) cos(?/8)-sin(?/8); 3) sin(a)-cos(a).

Используем формулу преобразования суммы в произведение:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

и формулу

$$\cos x-\sin x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sin x.$$

1. $$\sin 20^\circ+\cos 20^\circ=\sin 20^\circ+\sin 70^\circ$$

   $$=2\sin\frac{20^\circ+70^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-20^\circ}{2}=2\sin45^\circ\cos25^\circ.$$

2. $$\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)-\sin\frac{\pi}{8}=\sin\frac{3\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}$$

   $$=2\sin\frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}}{2}\cos\frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{8}}{2}=2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}.$$

3. $$\sin a-\cos a=\sin a-\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)$$

   $$=2\cos\frac{a+\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{2}\sin\frac{a-\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{2}$$

   $$=2\cos\frac{\pi}{4}\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ

1) $$2\sin45^\circ\cos25^\circ$$; 2) $$2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}$$; 3) $$2\cos\frac{\pi}{4}\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$$.