Упр.24.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Преобразуйте в произведение:
   
   1) $$\sin(20^\circ)+\cos(20^\circ)$$;
   
   2) $$\cos\left(\frac{?}{8}\right)-\sin\left(\frac{?}{8}\right)$$;
   
   3) $$\sin(a)-\cos(a)$$.

Используем формулы приведения к произведению:

$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2},$$

$$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

1. $$\sin 20^\circ+\cos 20^\circ=\sin 20^\circ+\sin 70^\circ$$

   $$=2\sin \frac{20^\circ+70^\circ}{2}\cos \frac{70^\circ-20^\circ}{2}=2\sin 45^\circ\cos 25^\circ.$$

2. $$\cos \frac{\pi}{8}-\sin \frac{\pi}{8}=\sin \frac{3\pi}{8}-\sin \frac{\pi}{8}$$

   $$=2\cos \frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}}{2}\sin \frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{8}}{2}=2\cos \frac{\pi}{4}\sin \frac{\pi}{8}.$$

   Следовательно,

   $$\cos \frac{\pi}{8}-\sin \frac{\pi}{8}=2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{4}.$$

3. $$\sin a-\cos a=\sin a-\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right)$$

   $$=2\cos \frac{a+\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{2}\sin \frac{a-\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{2}$$

   $$=2\cos \frac{\pi}{4}\sin \left(a-\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ: $$1)\ 2\sin 45^\circ\cos 25^\circ;\quad 2)\ 2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{4};\quad 3)\ 2\cos \frac{\pi}{4}\sin \left(a-\frac{\pi}{4}\right).$$