Упр.24.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$\frac{\cos(6a)+\cos(4a)}{\cos(a)+\cos(9a)}$$;
   2) $$\frac{\cos(a)-\cos(11a)}{\sin(11a)-\sin(a)}$$;
   3) $$\frac{\cos 58^\circ+\cos 32^\circ}{\sin 58^\circ+\sin 32^\circ}$$.

1) Используем формулы приведения суммы к произведению:

$$\frac{\cos 6a+\cos 4a}{\cos a+\cos 9a} = \frac{2\cos \frac{6a+4a}{2}\cdot \cos \frac{6a-4a}{2}}{2\cos \frac{9a+a}{2}\cdot \cos \frac{9a-a}{2}} = \frac{2\cos 5a\cdot \cos a}{2\cos 5a\cdot \cos 4a} = \frac{\cos a}{\cos 4a}.$$

Ответ: $$\frac{\cos a}{\cos 4a}$$

2) Преобразуем числитель и знаменатель по формулам разности:

$$\frac{\cos a-\cos 11a}{\sin 11a-\sin a} = \frac{-2\sin \frac{a+11a}{2}\cdot \sin \frac{a-11a}{2}}{2\sin \frac{11a+a}{2}\cdot \cos \frac{11a-a}{2}} = \frac{-2\sin 6a\cdot \sin(-5a)}{2\sin 6a\cdot \cos 5a} = \frac{\sin 5a}{\cos 5a} = \tg 5a.$$

Ответ: $$\tg 5a$$

3) Аналогично:

$$\frac{\cos 58^\circ+\cos 32^\circ}{\sin 58^\circ+\sin 32^\circ} = \frac{2\cos \frac{58^\circ+32^\circ}{2}\cdot \cos \frac{58^\circ-32^\circ}{2}}{2\sin \frac{58^\circ+32^\circ}{2}\cdot \cos \frac{58^\circ-32^\circ}{2}} = \frac{2\cos 45^\circ\cdot \cos 13^\circ}{2\sin 45^\circ\cdot \cos 13^\circ} = \tg 45^\circ = 1.$$

Ответ: $$1$$