Упр.24.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (sin(8a)+sin(2a))/(cos(8a)+cos(2a));
2) (sin(5a)-sin(a))/(cos(5a)-cos(a));
3) (cos(74°)-cos(14°))/(sin(74°)+sin(14°)).

1. Используем формулы суммы в произведение:
   $$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2},$$
   $$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

   Тогда
   $$ \frac{\sin 8a+\sin 2a}{\cos 8a+\cos 2a} = \frac{2\sin\frac{8a+2a}{2}\cos\frac{8a-2a}{2}}{2\cos\frac{8a+2a}{2}\cos\frac{8a-2a}{2}} = \frac{\sin 5a}{\cos 5a} = \tg 5a. $$

2. Применим формулы:
   $$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2},$$
   $$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$

   Тогда
   $$ \frac{\sin 5a-\sin a}{\cos 5a-\cos a} = \frac{2\cos\frac{5a+a}{2}\sin\frac{5a-a}{2}}{-2\sin\frac{5a+a}{2}\sin\frac{5a-a}{2}} = \frac{\cos 3a}{-\sin 3a} = -\ctg 3a. $$

3. Используем формулы:
   $$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2},$$
   $$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

   Тогда
   $$ \frac{\cos 74^\circ-\cos 14^\circ}{\sin 74^\circ+\sin 14^\circ} = \frac{-2\sin\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\sin\frac{74^\circ-14^\circ}{2}}{2\sin\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\cos\frac{74^\circ-14^\circ}{2}} = \frac{-\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = -\tg 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Ответ

1) $$\tg 5a$$;
2) $$-\ctg 3a$$;
3) $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$.