Упр.24.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$\frac{\sin 8a+\sin 2a}{\cos 8a+\cos 2a}$$;
   2) $$\frac{\sin 5a-\sin a}{\cos 5a-\cos a}$$;
   3) $$\frac{\cos 74^\circ-\cos 14^\circ}{\sin 74^\circ+\sin 14^\circ}$$.

1) Используем формулы приведения суммы к произведению:

$$\frac{\sin 8a+\sin 2a}{\cos 8a+\cos 2a} = \frac{2\sin \frac{8a+2a}{2}\cdot \cos \frac{8a-2a}{2}}{2\cos \frac{8a+2a}{2}\cdot \cos \frac{8a-2a}{2}} = \frac{\sin 5a}{\cos 5a} = \tg 5a.$$

2) Аналогично:

$$\frac{\sin 5a-\sin a}{\cos 5a-\cos a} = \frac{2\sin \frac{5a-a}{2}\cdot \cos \frac{5a+a}{2}}{-2\sin \frac{5a-a}{2}\cdot \sin \frac{5a+a}{2}} = \frac{\cos 3a}{-\sin 3a} = -\ctg 3a.$$

3) Применим формулы преобразования разности косинусов и суммы синусов:

$$\frac{\cos 74^\circ-\cos 14^\circ}{\sin 74^\circ+\sin 14^\circ} = \frac{-2\sin \frac{74^\circ+14^\circ}{2}\cdot \sin \frac{74^\circ-14^\circ}{2}}{2\sin \frac{74^\circ+14^\circ}{2}\cdot \cos \frac{74^\circ-14^\circ}{2}} = \frac{-\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = -\tg 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

1) $$\tg 5a$$; 2) $$-\ctg 3a$$; 3) $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$.