Упр.24.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$\sqrt{9+8x-x^2}=x-3$$;
- $$\sqrt{x+6}\cdot\sqrt{5-2x}=2-2x$$;
- $$\sqrt{x^2-x-6}=\sqrt{-2x}$$;
- $$\frac{5}{\sqrt{3x-2}}+\sqrt{3x-2}=3\sqrt{3x+1}$$.
1) $$\sqrt{9+8x-x^2}=x-3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$9+8x-x^2=x^2-6x+9$$
$$2x^2-14x=0$$
$$x(x-7)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=7$$
Проверим область допустимых значений:
$$9+8x-x^2\ge 0,\qquad x-3\ge 0$$
Из условия $$x-3\ge 0$$ получаем $$x\ge 3$$, значит подходит только $$x=7$$.
Ответ: $$7$$.
2) $$\sqrt{x^2-x-6}=\sqrt{-2x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-x-6=-2x$$
$$x^2+x-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{-1+5}{2}=2$$
Проверим область допустимых значений:
$$x^2-x-6\ge 0,\qquad -2x\ge 0$$
Из второго неравенства $$x\le 0$$, значит подходит только $$x=-3$$.
Ответ: $$-3$$.
3) $$\sqrt{x+6}\cdot\sqrt{5-2x}=2-2x$$
Объединим корни и возведём обе части в квадрат:
$$\sqrt{(x+6)(5-2x)}=2-2x$$
$$(x+6)(5-2x)=(2-2x)^2$$
$$5x-2x^2+30-12x=4-8x+4x^2$$
$$6x^2-x-26=0$$
$$D=1+624=625$$
$$x_1=\frac{1-25}{12}=-2,\qquad x_2=\frac{1+25}{12}=\frac{13}{6}$$
Проверим область допустимых значений:
$$x+6\ge 0,\qquad 5-2x\ge 0,\qquad 2-2x\ge 0$$
То есть
$$x\ge -6,\qquad x\le \frac52,\qquad x\le 1$$
Следовательно, подходит только $$x=-2$$.
Ответ: $$-2$$.
4) $$\frac{5}{\sqrt{3x-2}}+\sqrt{3x-2}=3\sqrt{3x+1}$$
Положим $$t=\sqrt{3x-2}$$, тогда $$t>0$$ и уравнение можно преобразовать:
$$\frac{5}{t}+t=3\sqrt{3x+1}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\frac{25}{3x-2}+2\cdot 5+\left(3x-2\right)=9(3x+1)$$
$$\frac{25}{3x-2}+10+3x-2=27x+9$$
$$\frac{25}{3x-2}-24x-1=0$$
Умножим на $$3x-2$$:
$$25-(24x+1)(3x-2)=0$$
$$25-72x^2+48x-3x+2=0$$
$$72x^2-45x-27=0$$
$$8x^2-5x-3=0$$
$$D=25+96=121$$
$$x_1=\frac{5-11}{16}=-\frac38,\qquad x_2=\frac{5+11}{16}=1$$
Проверим область допустимых значений:
$$3x-2>0,\qquad 3x+1\ge 0$$
То есть $$x>\frac23$$. Подходит только $$x=1$$.
Ответ: $$1$$.
