Упр.24.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) v(9+8x-x^2)=x-3; 3) v(x+6)·v(5-2x)=2-2x;
2) v(x^2-x-6)=v(-2x); 4) 5/v(3x-2)+v(3x-2)=3v(3x+1).

Подробный ответ

$$\sqrt{9+8x-x^2}=x-3$$

Возведём обе части в квадрат:
$$9+8x-x^2=(x-3)^2=x^2-6x+9$$
$$2x^2-14x=0$$
$$x(x-7)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=7$$

Проверим область допустимых значений:
$$9+8x-x^2\ge 0$$
$$x-3\ge 0$$
Отсюда подходит только $$x=7$$.
$$\sqrt{x^2-x-6}=\sqrt{-2x}$$

Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-x-6=-2x$$
$$x^2+x-6=0$$
$$ (x+3)(x-2)=0$$
$$x=-3 \text{ или } x=2$$

Проверим ОДЗ:
$$x^2-x-6\ge 0,\qquad -2x\ge 0$$
$$x\le -3 \text{ или } x\ge 2,\qquad x\le 0$$
Подходит только $$x=-3$$.
$$\sqrt{x+6}\cdot\sqrt{5-2x}=2-2x$$

Возведём обе части в квадрат:
$$(x+6)(5-2x)=(2-2x)^2$$
$$5x-2x^2+30-12x=4-8x+4x^2$$
$$6x^2-x-26=0$$
$$D=1+4\cdot 6\cdot 26=625$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 25}{12}$$
$$x_1=-2,\qquad x_2=\frac{13}{6}$$

Проверим ОДЗ:
$$x+6\ge 0,\qquad 5-2x\ge 0,\qquad 2-2x\ge 0$$
$$x\ge -6,\qquad x\le \frac52,\qquad x\le 1$$
Подходит только $$x=-2$$.
$$\frac{5}{\sqrt{3x-2}}+\sqrt{3x-2}=3\sqrt{3x+1}$$

Обозначим $$t=\sqrt{3x-2}$$, тогда $$t>0$$ и
$$\frac{5}{t}+t=3\sqrt{3x+1}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\frac{25}{3x-2}+2\cdot 5+(3x-2)=9(3x+1)$$
$$\frac{25}{3x-2}+3x+8=27x+9$$
$$\frac{25}{3x-2}-24x-1=0$$
Умножим на $$3x-2$$:
$$25-(24x+1)(3x-2)=0$$
$$25-72x^2+45x+2=0$$
$$72x^2-45x-27=0$$
$$8x^2-5x-3=0$$
$$D=25+96=121$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 11}{16}$$
$$x_1=-\frac38,\qquad x_2=1$$

Проверим ОДЗ:
$$3x-2>0,\qquad 3x+1\ge 0$$
$$x>\frac23,\qquad x\ge -\frac13$$
Подходит только $$x=1$$.