Упр.24.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 1-2cos(a)+cos(2a)=-4cos(a)sin^2(a/2);
2) 1-sin(a)-cos(a)=2v2sin(a/2)sin(a/2-45°);
3) cos^2(5?/4-2a)-cos^2(5?/4+2a)=sin(4a).

1. Используем формулу $$\cos(2a)=1-2\sin^2 a$$:

   $$1-2\cos a+\cos(2a)=1-2\cos a+1-2\sin^2 a=2-2\cos a-2\sin^2 a.$$

   Так как $$1-\cos a=2\sin^2\frac a2,$$ а $$\sin^2 a=4\sin^2\frac a2\cos^2\frac a2,$$ то удобнее преобразовать левую часть так:

   $$1-2\cos a+\cos(2a)=1-2\cos a+2\cos^2 a-1=2\cos^2 a-2\cos a.$$

   Тогда
   $$2\cos^2 a-2\cos a=2\cos a(\cos a-1)=-2\cos a(1-\cos a).$$

   Поскольку $$1-\cos a=2\sin^2\frac a2,$$ получаем
   $$-2\cos a(1-\cos a)=-4\cos a\sin^2\frac a2.$$

2. Преобразуем сумму по формулам половинного угла:

   $$1-\sin a-\cos a=(1-\cos a)-\sin a.$$

   Используем формулы
   $$1-\cos a=2\sin^2\frac a2,\qquad \sin a=2\sin\frac a2\cos\frac a2.$$

   Тогда
   $$1-\sin a-\cos a=2\sin\frac a2\left(\sin\frac a2-\cos\frac a2\right).$$

   Так как
   $$\cos\left(\frac a2-45^\circ\right)=\frac{\cos\frac a2+\sin\frac a2}{\sqrt2},$$
   то
   $$\sin\frac a2-\cos\frac a2=\sqrt2\,\sin\left(\frac a2-45^\circ\right).$$

   Следовательно,
   $$1-\sin a-\cos a=2\sqrt2\,\sin\frac a2\sin\left(\frac a2-45^\circ\right).$$

3. Используем формулу
   $$\cos^2 x-\cos^2 y=(\cos x-\cos y)(\cos x+\cos y).$$

   Пусть
   $$x=\frac{5\pi}{4}-2a,\qquad y=\frac{5\pi}{4}+2a.$$

   Тогда
   $$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2},$$
   $$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

   Имеем
   $$\frac{x+y}{2}=\frac{5\pi}{4},\qquad \frac{x-y}{2}=-2a.$$

   Поэтому
   $$\cos^2 x-\cos^2 y=(-2\sin\frac{5\pi}{4}\sin(-2a))\cdot(2\cos\frac{5\pi}{4}\cos(-2a)).$$

   Так как
   $$\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin(-2a)=-\sin 2a,\qquad \cos(-2a)=\cos 2a,$$
   то
   $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2a\right)=2\sin 2a\cos 2a=\sin 4a.$$

Ответ

$$1-2\cos a+\cos(2a)=-4\cos a\sin^2\frac a2,$$
$$1-\sin a-\cos a=2\sqrt2\,\sin\frac a2\sin\left(\frac a2-45^\circ\right),$$
$$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2a\right)=\sin 4a.$$