Упр.24.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Докажите тождество:
- 1) $$1-2\cos(a)+\cos(2a)=-4\cos(a)\sin^2\left(\frac{a}{2}\right);$$
2) $$1-\sin(a)-\cos(a)=2\sqrt{2}\sin\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{a}{2}-45^\circ\right);$$
3) $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2a\right)=\sin(4a).$$
1)
$$1-2\cos a+\cos 2a=1-2\cos a+(2\cos^2 a-1)=2\cos^2 a-2\cos a$$
$$=2\cos a(\cos a-1)=-4\cos a\cdot \frac{1-\cos a}{2}=-4\cos a\sin^2\frac a2.$$
Тождество доказано.
2)
$$1-\sin a-\cos a=1-2\sin\frac a2\cos\frac a2-\left(1-2\sin^2\frac a2\right)$$
$$=2\sin^2\frac a2-2\sin\frac a2\cos\frac a2 =2\sin\frac a2\left(\sin\frac a2-\cos\frac a2\right)$$
$$=2\sin\frac a2\left(\sin\frac a2-\sin\left(\frac\pi2-\frac a2\right)\right)$$
$$=2\sin\frac a2\cdot 2\sin\left(\frac a2-\frac\pi4\right)\cos\frac\pi4 =2\sqrt2\,\sin\frac a2\sin\left(\frac a2-45^\circ\right).$$
Тождество доказано.
3)
$$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2a\right)$$
$$=\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}-2a\right)-\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2a\right)\right) \left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}-2a\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2a\right)\right)$$
$$=-2\sin\frac{5\pi}{4}\sin\frac{-4a}{2}\cdot 2\cos\frac{5\pi}{4}\cos\frac{-4a}{2}$$
$$=-\sin\frac{5\pi}{2}\sin 4a=\sin 4a.$$
Тождество доказано.
