Упр.24.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Докажите тождество:
1) $$\sin(5a)+\sin(6a)+\sin(7a)+\sin(8a)=4\cos\left(\frac{a}{2}\right)\cos(a)\sin\left(\frac{13a}{2}\right);$$
2) $$\sin(a)+\sin(3a)-\sin(2a)=4\sin\left(\frac{a}{2}\right)\cos(a)\cos\left(\frac{3a}{2}\right);$$
3) $$\sin(a)+\sin(?) +\sin(a-?)=4\sin\left(\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{?}{2}\right)\cos\left(\frac{a-?}{2}\right);$$
4) $$\sin^2(a)-\sin^2(?)=\sin(a+?)\sin(a-?);$$
5) $$\frac{\cos(a)-\cos(2a)-\cos(4a)+\cos(5a)}{\sin(a)-\sin(2a)-\sin(4a)+\sin(5a)}=\operatorname{ctg}(3a);$$
6) $$\left(\sin(a)+\sin(?)\right)^2+\left(\cos(a)+\cos(?)\right)^2=4\cos^2\left(\frac{a-?}{2}\right);$$
7) $$\frac{\sin(2a)\cos(4a)(1+\cos(2a))}{(\sin(3a)+\sin(a))(\cos(3a)+\cos(5a))}=\frac{1}{2};$$
8) $$\left(\frac{\sin(4a)}{\sin(a)}-\frac{\cos(4a)}{\cos(a)}\right)\left(\frac{1}{\sin(3a)}+\frac{1}{\sin(a)}\right)=4\operatorname{ctg}(a).$$
1) $$\sin 5a+\sin 6a+\sin 7a+\sin 8a$$
$$=(\sin 5a+\sin 8a)+(\sin 6a+\sin 7a)$$
$$=2\sin\frac{13a}{2}\cos\frac{3a}{2}+2\sin\frac{13a}{2}\cos\frac{a}{2}$$
$$=2\sin\frac{13a}{2}\left(\cos\frac{3a}{2}+\cos\frac{a}{2}\right)$$
$$=2\sin\frac{13a}{2}\cdot 2\cos a\cos\frac{a}{2}$$
$$=4\cos\frac{a}{2}\cos a\sin\frac{13a}{2}.$$
Тождество доказано.
2) $$\sin a+\sin 3a-\sin 2a$$
$$=(\sin a+\sin 3a)-\sin 2a$$
$$=2\sin 2a\cos a-\sin 2a$$
$$=\sin 2a(2\cos a-1)$$
$$=2\sin a\cos a\,(2\cos a-1)$$
$$=4\sin\frac a2\cos a\cos\frac{3a}{2}.$$
Тождество доказано.
3) $$\sin a+\sin \beta+\sin(a-\beta)$$
$$=\bigl(\sin a+\sin(a-\beta)\bigr)+\sin\beta$$
$$=2\sin\frac{2a-\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\sin\beta$$
$$=2\sin\frac{2a-\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}+2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$$
$$=2\cos\frac{\beta}{2}\left(\sin\frac{2a-\beta}{2}+\sin\frac{\beta}{2}\right)$$
$$=2\cos\frac{\beta}{2}\cdot 2\sin\frac a2\cos\frac{a-\beta}{2}$$
$$=4\sin\frac a2\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}.$$
Тождество доказано.
4) $$\sin^2 a-\sin^2 \beta=(\sin a-\sin\beta)(\sin a+\sin\beta)$$
$$=2\cos\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2}\cdot 2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}$$
$$=\sin(a-\beta)\sin(a+\beta).$$
Тождество доказано.
5) $$\frac{\cos a-\cos 2a-\cos 4a+\cos 5a}{\sin a-\sin 2a-\sin 4a+\sin 5a}$$
$$=\frac{(\cos a-\cos 2a)+(\cos 5a-\cos 4a)}{(\sin a-\sin 2a)+(\sin 5a-\sin 4a)}$$
$$=\frac{2\sin\frac{3a}{2}\sin\frac a2-2\sin\frac{9a}{2}\sin\frac a2}{-2\cos\frac{3a}{2}\sin\frac a2+2\cos\frac{9a}{2}\sin\frac a2}$$
$$=\frac{\sin\frac{3a}{2}-\sin\frac{9a}{2}}{\cos\frac{9a}{2}-\cos\frac{3a}{2}}$$
$$=\frac{-2\cos 3a\sin\frac{3a}{2}}{2\sin 3a\sin\frac{3a}{2}}$$
$$=\frac{\cos 3a}{\sin 3a}=\operatorname{ctg}3a.$$
Тождество доказано.
6) $$\bigl(\sin a+\sin \beta\bigr)^2+\bigl(\cos a+\cos \beta\bigr)^2$$
$$=\left(2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}\right)^2+\left(2\cos\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}\right)^2$$
$$=4\cos^2\frac{a-\beta}{2}\left(\sin^2\frac{a+\beta}{2}+\cos^2\frac{a+\beta}{2}\right)$$
$$=4\cos^2\frac{a-\beta}{2}.$$
Тождество доказано.
7) $$\frac{\sin 2a\cdot \cos 4a\cdot (1+\cos 2a)}{(\sin 3a+\sin a)(\cos 3a+\cos 5a)}$$
$$=\frac{\sin 2a\cdot \cos 4a\cdot (1+2\cos^2 a-1)}{2\sin 2a\cos a\cdot 2\cos 4a\cos a}$$
$$=\frac{\sin 2a\cdot \cos 4a\cdot 2\cos^2 a}{4\sin 2a\cos^2 a\cos 4a}=\frac12.$$
Тождество доказано.
8) $$\left(\frac{\sin 4a}{\sin a}-\frac{\cos 4a}{\cos a}\right)\left(\frac1{\sin 3a}+\frac1{\sin a}\right)$$
$$=\frac{\sin 4a\cos a-\cos 4a\sin a}{\sin a\cos a}\cdot \frac{\sin a+\sin 3a}{\sin a\sin 3a}$$
$$=\frac{\sin(4a-a)}{\sin a\cos a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos a}{\sin a\sin 3a}$$
$$=\frac{\sin 3a}{\sin a\cos a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos a}{\sin a\sin 3a}$$
$$=\frac{2\sin 2a}{\sin^2 a}=\frac{4\sin a\cos a}{\sin^2 a}=4\operatorname{ctg}a.$$
Тождество доказано.
