Упр.24.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(5a)+sin(6a)+sin(7a)+sin(8a)=4cos(a/2)cos(a)sin(13a/2);
2) sin(a)+sin(3a)-sin(2a)=4sin(a/2)cos(a)cos(3a/2);
3) sin(a)+sin(?)+sin(a-?)=4sin(a/2)cos(?/2)cos((a-?)/2);
4) sin^2(a)-sin^2(?)=sin(a+?)sin(a-?);
5) (cos(a)-cos(2a)-cos(4a)+cos(5a))/(sin(a)-sin(2a)-sin(4a)+sin(5a))=ctg(3a);
6) (sin(a)+sin(?))^2+(cos(a)+cos(?))^2=4cos^2((a-?)/2);
7) (sin(2a)cos(4a)(1+cos(2a)))/((sin(3a)+sin(a))(cos(3a)+cos(5a)))=1/2;
8) (sin(4a)/sin(a)-cos(4a)/cos(a))(1/sin(3a)+1/sin(a))=4ctg(a).

1. $$\sin 5a+\sin 6a+\sin 7a+\sin 8a$$
   $$=(\sin 5a+\sin 8a)+(\sin 6a+\sin 7a)$$
   $$=2\sin\frac{13a}{2}\cos\frac{3a}{2}+2\sin\frac{13a}{2}\cos\frac{a}{2}$$
   $$=2\sin\frac{13a}{2}\left(\cos\frac{3a}{2}+\cos\frac{a}{2}\right)$$
   $$=2\sin\frac{13a}{2}\cdot 2\cos a\cos\frac{a}{2}$$
   $$=4\cos\frac{a}{2}\cos a\sin\frac{13a}{2}.$$

2. $$\sin a+\sin 3a-\sin 2a=(\sin a+\sin 3a)-\sin 2a$$
   $$=2\sin 2a\cos a-2\sin a\cos a$$
   $$=2\cos a(\sin 2a-\sin a)$$
   $$=2\cos a\cdot 2\cos\frac{3a}{2}\sin\frac{a}{2}$$
   $$=4\sin\frac{a}{2}\cos a\cos\frac{3a}{2}.$$

3. $$\sin a+\sin \beta+\sin(a-\beta)$$
   $$=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}+2\sin\frac{a-\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}$$
   $$=2\cos\frac{a-\beta}{2}\left(\sin\frac{a+\beta}{2}+\sin\frac{a-\beta}{2}\right)$$
   $$=2\cos\frac{a-\beta}{2}\cdot 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{\beta}{2}$$
   $$=4\sin\frac{a}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}.$$

4. $$\sin^2 a-\sin^2 \beta=(\sin a-\sin \beta)(\sin a+\sin \beta)$$
   $$=2\cos\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2}\cdot 2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}$$
   $$=\sin(a+\beta)\sin(a-\beta).$$

5. $$\frac{\cos a-\cos 2a-\cos 4a+\cos 5a}{\sin a-\sin 2a-\sin 4a+\sin 5a}$$
   $$=\frac{(\cos 5a-\cos 4a)-(\cos 2a-\cos a)}{(\sin 5a-\sin 4a)-(\sin 2a-\sin a)}$$
   $$=\frac{-2\sin\frac{9a}{2}\sin\frac{a}{2}+2\sin\frac{3a}{2}\sin\frac{a}{2}}{2\sin\frac{9a}{2}\cos\frac{a}{2}-2\sin\frac{3a}{2}\cos\frac{a}{2}}$$
   $$=\frac{\sin\frac{a}{2}\left(\sin\frac{3a}{2}-\sin\frac{9a}{2}\right)}{\cos\frac{a}{2}\left(\sin\frac{9a}{2}-\sin\frac{3a}{2}\right)}$$
   $$=\frac{-2\sin\frac{a}{2}\cos 3a\sin\frac{3a}{2}}{2\cos\frac{a}{2}\cos 3a\sin\frac{3a}{2}}$$
   $$=\frac{\cos 3a}{\sin 3a}=\ctg 3a.$$

6. $$\left(\sin a+\sin \beta\right)^2+\left(\cos a+\cos \beta\right)^2$$
   $$=\left(2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}\right)^2+\left(2\cos\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}\right)^2$$
   $$=4\cos^2\frac{a-\beta}{2}\left(\sin^2\frac{a+\beta}{2}+\cos^2\frac{a+\beta}{2}\right)$$
   $$=4\cos^2\frac{a-\beta}{2}.$$

7. $$\frac{\sin 2a\cdot \cos 4a\cdot (1+\cos 2a)}{(\sin 3a+\sin a)(\cos 3a+\cos 5a)}$$
   $$=\frac{\sin 2a\cdot \cos 4a\cdot 2\cos^2 a}{2\sin 2a\cos a\cdot 2\cos 4a\cos a}$$
   $$=\frac{2\sin 2a\cos 4a\cos^2 a}{4\sin 2a\cos 4a\cos^2 a}=\frac12.$$

8. $$\left(\frac{\sin 4a}{\sin a}-\frac{\cos 4a}{\cos a}\right)\left(\frac1{\sin 3a}+\frac1{\sin a}\right)$$
   $$=\frac{\sin 4a\cos a-\cos 4a\sin a}{\sin a\cos a}\cdot \frac{\sin a+\sin 3a}{\sin a\sin 3a}$$
   $$=\frac{\sin(4a-a)}{\sin a\cos a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos a}{\sin a\sin 3a}$$
   $$=\frac{\sin 3a}{\sin a\cos a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos a}{\sin a\sin 3a}$$
   $$=\frac{2\sin 2a}{\sin^2 a}= \frac{4\sin a\cos a}{\sin^2 a}=4\ctg a.$$

Ответ

Все тождества доказаны.