Упр.23.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите:
   1) $$\cos^2(22^\circ30′)-\sin^2(22^\circ30′)$$;
   2) $$\frac{2\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}$$;
   3) $$2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}$$;
   4) $$1-2\cos^2\frac{\pi}{12}$$.

Используем формулы двойного угла:

$$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,$$

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha},$$

$$1-2\cos^2\alpha=-\left(2\cos^2\alpha-1\right)=-\cos 2\alpha.$$

1. $$\cos^2 22^\circ 30′ — \sin^2 22^\circ 30’=\cos(2\cdot 22^\circ 30′)=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

2. $$\frac{2\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=\tg(2\cdot 75^\circ)=\tg 150^\circ=\tg(180^\circ-30^\circ)=-\tg 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

3. $$2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}=\sin\left(2\cdot\frac{3\pi}{8}\right)=\sin\frac{3\pi}{4}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

4. $$1-2\cos^2\frac{\pi}{12}=-\left(2\cos^2\frac{\pi}{12}-1\right)=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: 1) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 2) $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$; 3) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 4) $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.