Упр.23.39 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
- $$\frac{x+4}{x^2-4}$$;
- $$\frac{x^2-4}{x^2+4}$$;
- $$\sqrt{6-7x}$$;
- $$\frac{9}{\sqrt{3x+6}}$$;
- $$\sqrt{7x-42}+\frac{1}{x^2-8x}$$;
- $$\sqrt{-x^2+3x+4}$$;
- $$\frac{1}{\sqrt{x^2+4x-12}}$$;
- $$\frac{x+2}{\sqrt{35+2x-x^2}}+\frac{2}{\sqrt{8-4x}}$$?
1) Для дроби знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x^2-4\ne 0,$$
$$x^2\ne 4,$$
$$x\ne \pm 2.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
2) Знаменатель $$x^2+4$$ всегда положителен, так как $$x^2\ge 0$$, значит
$$x^2+4\ne 0$$
при любых $$x\in\mathbb{R}.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;+\infty).$$
3) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$6-7x\ge 0,$$
$$7x\le 6,$$
$$x\le \frac67.$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\infty;\frac67\right].$$
4) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
$$3x+6>0,$$
$$3x>-6,$$
$$x>-2.$$
Следовательно,
$$x\in(-2;+\infty).$$
5) Нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:
$$7x-42\ge 0,$$
$$x\ge 6,$$
и
$$x^2-8x\ne 0,$$
$$x(x-8)\ne 0,$$
$$x\ne 0,\quad x\ne 8.$$
С учётом $$x\ge 6$$ получаем:
$$x\in[6;8)\cup(8;+\infty).$$
6) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$-x^2+3x+4\ge 0,$$
$$x^2-3x-4\le 0.$$
Найдём корни уравнения $$x^2-3x-4=0$$:
$$D=3^2+4\cdot 4=25,$$
$$x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{3+5}{2}=4.$$
Тогда
$$-1\le x\le 4.$$
Следовательно,
$$x\in[-1;4].$$
7) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
$$x^2+4x-12>0.$$
Решим квадратное неравенство:
$$D=4^2+4\cdot 12=64,$$
$$x_1=\frac{-4-8}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-4+8}{2}=2.$$
Тогда
$$x<-6 \quad \text{или} \quad x>2.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty).$$
8) Нужно выполнить оба условия:
$$35+2x-x^2>0,$$
$$8-4x>0.$$
Первое неравенство:
$$x^2-2x-35<0,$$
$$D=2^2+4\cdot 35=144,$$
$$x_1=\frac{2-12}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{2+12}{2}=7,$$
$$-5<x<7.$$
Второе неравенство:
$$8-4x>0,$$
$$x<2.$$
Пересечение условий:
$$x\in(-5;2).$$
Ответ
1) $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$
2) $$x\in(-\infty;+\infty)$$
3) $$x\in\left(-\infty;\frac67\right]$$
4) $$x\in(-2;+\infty)$$
5) $$x\in[6;8)\cup(8;+\infty)$$
6) $$x\in[-1;4]$$
7) $$x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty)$$
8) $$x\in(-5;2)$$
