Упр.23.38 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{\cos^4(a-?)}{\cos^4(a-3?/2)+\sin^4(a+3?/2)-1}$$.

$$\frac{\cos^4\left(a-\pi\right)}{\cos^4\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)+\sin^4\left(a+\frac{3\pi}{2}\right)-1}$$

Используем формулы приведения:

$$\cos\left(a-\pi\right)=-\cos a,\qquad \cos\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)=-\sin a,\qquad \sin\left(a+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos a.$$

Тогда

$$\frac{\cos^4 a}{\sin^4 a+\cos^4 a-1}.$$

Преобразуем знаменатель:

$$\sin^4 a+\cos^4 a-1=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a\cos^2 a-1=-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Следовательно,

$$\frac{\cos^4 a}{-2\sin^2 a\cos^2 a}=-\frac{\cos^2 a}{2\sin^2 a}=-\frac12\ctg^2 a.$$

Ответ: $$-\frac12\ctg^2 a.$$