Упр.23.38 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 23.38. Упростите выражение cos^4(a-?)/(cos^4(a-3?/2)+sin^4(a+3?/2)-1).

$$ \frac{\cos^4(a-\pi)}{\cos^4\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)+\sin^4\left(a+\frac{3\pi}{2}\right)-1} = \frac{\cos^4(\pi-a)}{\cos^4\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)+\sin^4\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)-1} $$

Так как
$$ \cos(\pi-a)=-\cos a,\quad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=-\sin a,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)=-\cos a, $$
то получаем
$$ \frac{\cos^4 a}{\sin^4 a+\cos^4 a-1}. $$

Преобразуем знаменатель:
$$ \sin^4 a+\cos^4 a-1=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a-1 $$
$$ =1-2\sin^2 a\cos^2 a-1=-2\sin^2 a\cos^2 a. $$

Тогда
$$ \frac{\cos^4 a}{-2\sin^2 a\cos^2 a} = -\frac{\cos^2 a}{2\sin^2 a} = -\frac12 \ctg^2 a. $$

Ответ

$$ -\frac12 \ctg^2 a $$