Упр.23.37 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 23.37. Докажите тождество (3+4cos(a)+cos(2a))/(3-4cos(a)+cos(2a))=ctg^4(a/2).

Преобразуем левую часть тождества:

$$\frac{3+4\cos a+\cos 2a}{3-4\cos a+\cos 2a}$$

Используем формулу $$\cos 2a=2\cos^2 a-1$$:

$$\frac{3+4\cos a+(2\cos^2 a-1)}{3-4\cos a+(2\cos^2 a-1)}=\frac{2+4\cos a+2\cos^2 a}{2-4\cos a+2\cos^2 a}$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{2(1+2\cos a+\cos^2 a)}{2(1-2\cos a+\cos^2 a)}=\frac{(1+\cos a)^2}{(1-\cos a)^2}$$

Теперь применим формулы половинного угла:

$$1+\cos a=2\cos^2\frac a2,\qquad 1-\cos a=2\sin^2\frac a2$$

Тогда

$$\frac{(1+\cos a)^2}{(1-\cos a)^2}=\frac{\left(2\cos^2\frac a2\right)^2}{\left(2\sin^2\frac a2\right)^2}=\frac{4\cos^4\frac a2}{4\sin^4\frac a2}=\ctg^4\frac a2$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\frac{3+4\cos a+\cos 2a}{3-4\cos a+\cos 2a}=\ctg^4\frac a2$$