Упр.23.36 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что: 1) $$\sin(54^\circ)\cos(72^\circ)=\frac{1}{4}$$; 2) $$\cos(3a)\cos(6a)\cos(12a)=\frac{\sin(24a)}{8\sin(3a)}$$.

1) $$\sin 54^\circ \cdot \cos 72^\circ=\frac{4\sin 54^\circ \cdot \cos 54^\circ \cdot \cos 72^\circ}{4\cos 54^\circ}$$

Так как $$2\sin 54^\circ \cos 54^\circ=\sin 108^\circ,$$ то

$$\sin 54^\circ \cdot \cos 72^\circ=\frac{2\sin 108^\circ \cdot \cos 72^\circ}{4\cos 54^\circ}.$$

Далее

$$\sin 108^\circ=\sin(180^\circ-72^\circ)=\sin 72^\circ,$$

поэтому

$$\sin 54^\circ \cdot \cos 72^\circ=\frac{2\sin 72^\circ \cdot \cos 72^\circ}{4\cos 54^\circ}=\frac{\sin 144^\circ}{4\cos 54^\circ}.$$

Но $$\sin 144^\circ=\sin(90^\circ+54^\circ)=\cos 54^\circ,$$ значит

$$\sin 54^\circ \cdot \cos 72^\circ=\frac{\cos 54^\circ}{4\cos 54^\circ}=\frac14.$$

Равенство доказано.

2) $$\cos 3a \cdot \cos 6a \cdot \cos 12a=\frac{8\sin 3a \cdot \cos 3a \cdot \cos 6a \cdot \cos 12a}{8\sin 3a}.$$

Так как $$2\sin 3a \cos 3a=\sin 6a,$$ то

$$\cos 3a \cdot \cos 6a \cdot \cos 12a=\frac{4\sin 6a \cdot \cos 6a \cdot \cos 12a}{8\sin 3a}.$$

Далее

$$2\sin 6a \cos 6a=\sin 12a,$$

поэтому

$$\cos 3a \cdot \cos 6a \cdot \cos 12a=\frac{2\sin 12a \cdot \cos 12a}{8\sin 3a}.$$

И, наконец,

$$2\sin 12a \cos 12a=\sin 24a,$$

значит

$$\cos 3a \cdot \cos 6a \cdot \cos 12a=\frac{\sin 24a}{8\sin 3a}.$$

Равенство доказано.