Упр.23.36 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(54°)cos(72°)=1/4;
2) cos(3a)cos(6a)cos(12a)=sin(24a)/(8sin(3a)).

1) Используем формулу двойного угла:

$$\sin 108^\circ = 2\sin 54^\circ \cos 54^\circ.$$

Тогда

$$ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{4\sin 54^\circ \cos 54^\circ \cos 72^\circ}{4\cos 54^\circ} = \frac{2\sin 108^\circ \cos 72^\circ}{4\cos 54^\circ}. $$

Так как $$\sin 108^\circ=\sin(180^\circ-72^\circ)=\sin 72^\circ,$$ получаем

$$ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{2\sin 72^\circ \cos 72^\circ}{4\cos 54^\circ} = \frac{\sin 144^\circ}{4\cos 54^\circ}. $$

Далее

$$\sin 144^\circ=\sin(90^\circ+54^\circ)=\cos 54^\circ,$$

значит

$$ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{\cos 54^\circ}{4\cos 54^\circ} = \frac14. $$

2) Преобразуем левую часть, используя формулу двойного угла:

$$ \cos 3a \cos 6a \cos 12a = \frac{8\sin 3a \cos 3a \cos 6a \cos 12a}{8\sin 3a}. $$

Так как $$2\sin 3a \cos 3a=\sin 6a,$$ то

$$ \cos 3a \cos 6a \cos 12a = \frac{4\sin 6a \cos 6a \cos 12a}{8\sin 3a}. $$

Снова применим формулу двойного угла:

$$2\sin 6a \cos 6a=\sin 12a,$$

тогда

$$ \cos 3a \cos 6a \cos 12a = \frac{2\sin 12a \cos 12a}{8\sin 3a}. $$

И наконец,

$$2\sin 12a \cos 12a=\sin 24a,$$

поэтому

$$ \cos 3a \cos 6a \cos 12a = \frac{\sin 24a}{8\sin 3a}. $$

Ответ

1) $$\sin 54^\circ \cos 72^\circ=\frac14.$$

2) $$\cos 3a \cos 6a \cos 12a=\frac{\sin 24a}{8\sin 3a}.$$