Упр.23.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Докажите, что: 1) $$\sin(18^\circ)\cos(36^\circ)=\frac{1}{4}$$; 2) $$8\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)=1$$; 3) $$\sin(6^\circ)\sin(42^\circ)\cos(12^\circ)\cos(24^\circ)=\frac{1}{16}$$.

Подробный ответ

1) Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$:

$$\sin 18^\circ\cos 36^\circ = \frac{2\sin 18^\circ\cos 18^\circ\cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin 36^\circ\cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ}.$$

Так как $$\sin 72^\circ=2\sin 36^\circ\cos 36^\circ,$$ то

$$\sin 18^\circ\cos 36^\circ = \frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4\sin 72^\circ} = \frac14.$$

Равенство доказано.

2) Преобразуем произведение:

$$8\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} = \frac{8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}.$$

Сгруппируем первые два множителя:

$$= \frac{4\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}.$$

Так как $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ получаем

$$= \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}.$$

Но $$\sin\frac{8\pi}{9}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{9}\right)=\sin\frac{\pi}{9},$$ значит

$$8\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=1.$$

Равенство доказано.

3) Преобразуем левую часть:

$$\sin 6^\circ\sin 42^\circ\cos 12^\circ\cos 24^\circ = \frac{16\sin 6^\circ\cos 6^\circ\cos 12^\circ\cos 24^\circ\sin 42^\circ}{16\cos 6^\circ}.$$

Так как $$2\sin 6^\circ\cos 6^\circ=\sin 12^\circ,$$ то

$$= \frac{8\sin 12^\circ\cos 12^\circ\cos 24^\circ\sin 42^\circ}{16\cos 6^\circ}.$$

Далее $$2\sin 12^\circ\cos 12^\circ=\sin 24^\circ,$$ поэтому

$$= \frac{4\sin 24^\circ\cos 24^\circ\sin 42^\circ}{16\cos 6^\circ}.$$

И снова используем формулу $$2\sin 24^\circ\cos 24^\circ=\sin 48^\circ$$: