Упр.23.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) sin(18°)cos(36°)=1/4;
2) 8cos(?/9)cos(2?/9)cos(4?/9)=1;
3) sin(6°)sin(42°)cos(12°)cos(24°)=1/16.

Подробный ответ

1) Используем формулу $$\cos 36^\circ=\sin 54^\circ$$ и формулу суммы:

$$ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \sin 18^\circ \sin 54^\circ = \frac{1}{2}\bigl(\cos 36^\circ-\cos 72^\circ\bigr). $$

Удобнее преобразовать исходное выражение так:

$$ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{4\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{2\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ}. $$

Так как $$\sin 72^\circ=\cos 18^\circ,$$ получаем:

$$ \sin 18^\circ \cos 36^\circ=\frac{1}{4}. $$

2) Преобразуем произведение:

$$ 8\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9} = \frac{8\sin \frac{\pi}{9}\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}}. $$

Используем формулу $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$:

$$ = \frac{4\sin \frac{2\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{2\sin \frac{4\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}}. $$

Так как $$\sin \frac{8\pi}{9}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{9}\right)=\sin \frac{\pi}{9},$$ то

$$ 8\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}=1. $$

3) Преобразуем произведение, последовательно применяя формулу $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$:

$$ \sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ = \frac{16\sin 6^\circ \cos 6^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ \sin 42^\circ}{16\cos 6^\circ}. $$

Так как $$2\sin 6^\circ \cos 6^\circ=\sin 12^\circ,$$ а $$2\sin 12^\circ \cos 12^\circ=\sin 24^\circ,$$ получаем:

$$ = \frac{8\sin 12^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ \sin 42^\circ}{16\cos 6^\circ} = \frac{4\sin 24^\circ \cos 24^\circ \sin 42^\circ}{16\cos 6^\circ}. $$

Далее $$2\sin 24^\circ \cos 24^\circ=\sin 48^\circ,$$ значит

$$ = \frac{2\sin 48^\circ \sin 42^\circ}{16\cos 6^\circ}. $$

Используем $$2\sin 48^\circ \sin 42^\circ=\cos 6^\circ-\cos 90^\circ=\cos 6^\circ,$$ тогда

$$ \sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ = \frac{\cos 6^\circ}{16\cos 6^\circ} = \frac{1}{16}. $$