Упр.23.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(2a)/(sin^2(2a)(ctg^2(a)-tg^2(a)));
2) sin^2(3a)/sin^2(a)-cos^2(3a)/cos^2(a);
3) cos(a)/(tg^2(a/2)-ctg^2(a/2));
4) (sin(?/4-a)sin(?/4+a))/(sin(3a)cos(a)-cos(3a)sin(a)).

1. $$\frac{\cos 2a}{\sin^2 2a\cdot(\ctg^2 a-\tg^2 a)}$$

   $$\sin^2 2a=4\sin^2 a\cos^2 a,$$
   $$\ctg^2 a-\tg^2 a=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} =\frac{\cos^4 a-\sin^4 a}{\sin^2 a\cos^2 a} =\frac{(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)}{\sin^2 a\cos^2 a} =\frac{\cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$

   Тогда
   $$\frac{\cos 2a}{4\sin^2 a\cos^2 a\cdot \frac{\cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a}} =\frac{\cos 2a}{4\cos 2a} =\frac14.$$

2. $$\frac{\sin^2 3a}{\sin^2 a}-\frac{\cos^2 3a}{\cos^2 a}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\sin^2 3a\cos^2 a-\cos^2 3a\sin^2 a}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$

   Числитель представим как разность квадратов:
   $$\frac{(\sin 3a\cos a-\cos 3a\sin a)(\sin 3a\cos a+\cos 3a\sin a)}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$

   Используем формулы:
   $$\sin 3a\cos a-\cos 3a\sin a=\sin(3a-a)=\sin 2a,$$
   $$\sin 3a\cos a+\cos 3a\sin a=\sin(3a+a)=\sin 4a.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin 2a\cdot \sin 4a}{\sin^2 a\cos^2 a} =\frac{\sin 2a\cdot 2\sin 2a\cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a} =\frac{2\sin^2 2a\cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$

   Так как $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$ то
   $$\sin^2 2a=4\sin^2 a\cos^2 a.$$
   Следовательно,
   $$\frac{2\cdot 4\sin^2 a\cos^2 a\cdot \cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a}=8\cos 2a.$$

3. $$\frac{\cos a}{\tg^2 \frac a2-\ctg^2 \frac a2}$$

   Используем формулы:
   $$\tg^2 \frac a2=\frac{1-\cos a}{1+\cos a},\qquad \ctg^2 \frac a2=\frac{1+\cos a}{1-\cos a}.$$

   Тогда
   $$\tg^2 \frac a2-\ctg^2 \frac a2 =\frac{1-\cos a}{1+\cos a}-\frac{1+\cos a}{1-\cos a} =\frac{(1-\cos a)^2-(1+\cos a)^2}{1-\cos^2 a}.$$

   Числитель:
   $$ (1-\cos a)^2-(1+\cos a)^2=-4\cos a.$$
   Знаменатель:
   $$1-\cos^2 a=\sin^2 a.$$

   Значит,
   $$\tg^2 \frac a2-\ctg^2 \frac a2=\frac{-4\cos a}{\sin^2 a}.$$
   Тогда
   $$\frac{\cos a}{\tg^2 \frac a2-\ctg^2 \frac a2} =\frac{\cos a}{-\frac{4\cos a}{\sin^2 a}} =-\frac14\sin^2 a.$$

4. $$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin 3a\cos a-\cos 3a\sin a}$$

   В знаменателе:
   $$\sin 3a\cos a-\cos 3a\sin a=\sin(3a-a)=\sin 2a.$$

   В числителе используем формулу произведения:
   $$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}.$$
   Тогда
   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right) =\frac{\cos(-2a)-\cos\frac{\pi}{2}}{2} =\frac{\cos 2a}{2}.$$

   Получаем
   $$\frac{\frac12\cos 2a}{\sin 2a} =\frac12\ctg 2a.$$

Ответ

1) $$\frac14$$; 2) $$8\cos 2a$$; 3) $$-\frac14\sin^2 a$$; 4) $$\frac12\ctg 2a$$.