Упр.23.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Упростите выражение:
1) $$\frac{\cos(2a)}{\sin^2(2a)\left(\operatorname{ctg}^2(a)-\operatorname{tg}^2(a)\right)}$$
2) $$\frac{\sin^2(3a)}{\sin^2(a)}-\frac{\cos^2(3a)}{\cos^2(a)}$$
3) $$\frac{\cos(a)}{\operatorname{tg}^2\left(\frac{a}{2}\right)-\operatorname{ctg}^2\left(\frac{a}{2}\right)}$$
4) $$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin(3a)\cos(a)-\cos(3a)\sin(a)}$$
1) $$\frac{\cos 2a}{\sin^2 2a\cdot(\ctg^2 a-\tg^2 a)}$$
$$\ctg^2 a-\tg^2 a=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\frac{\cos^4 a-\sin^4 a}{\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)}{\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{\cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$
Тогда
$$\frac{\cos 2a}{\sin^2 2a\cdot(\ctg^2 a-\tg^2 a)}=\frac{\cos 2a}{4\sin^2 a\cos^2 a\cdot \frac{\cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a}}=\frac{1}{4}.$$
2) $$\frac{\sin^2 3a}{\sin^2 a}-\frac{\cos^2 3a}{\cos^2 a}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\sin^2 3a\cos^2 a-\cos^2 3a\sin^2 a}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$
Числитель представим как разность квадратов:
$$\frac{(\sin 3a\cos a-\cos 3a\sin a)(\sin 3a\cos a+\cos 3a\sin a)}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$
Используем формулы:
$$\sin 3a\cos a-\cos 3a\sin a=\sin(3a-a)=\sin 2a,$$
$$\sin 3a\cos a+\cos 3a\sin a=\sin(3a+a)=\sin 4a.$$
Тогда
$$\frac{\sin 2a\cdot \sin 4a}{\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{\sin 2a\cdot 2\sin 2a\cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$
Так как $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$ получаем
$$\frac{2\sin 2a\cdot \sin 2a\cos 2a}{\sin^2 a\cos^2 a}=8\cos 2a.$$
3) $$\frac{\cos a}{\tg^2 \frac a2-\ctg^2 \frac a2}$$
Используем формулы:
$$\tg^2 \frac a2=\frac{1-\cos a}{1+\cos a},\qquad \ctg^2 \frac a2=\frac{1+\cos a}{1-\cos a}.$$
Тогда
$$\tg^2 \frac a2-\ctg^2 \frac a2=\frac{1-\cos a}{1+\cos a}-\frac{1+\cos a}{1-\cos a}$$
$$=\frac{(1-\cos a)^2-(1+\cos a)^2}{1-\cos^2 a}=\frac{-4\cos a}{\sin^2 a}.$$
Следовательно,
$$\frac{\cos a}{\tg^2 \frac a2-\ctg^2 \frac a2}=\frac{\cos a}{-\frac{4\cos a}{\sin^2 a}}=-\frac14\sin^2 a.$$
4) $$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin 3a\cos a-\cos 3a\sin a}$$
Знаменатель преобразуем по формуле синуса разности:
$$\sin 3a\cos a-\cos 3a\sin a=\sin(3a-a)=\sin 2a.$$
Числитель:
$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac12\sin\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)=\frac12\cos 2a.$$
Тогда
$$\frac{\frac12\cos 2a}{\sin 2a}=\frac12\ctg 2a.$$
Ответ
1) $$\frac14$$; 2) $$8\cos 2a$$; 3) $$-\frac14\sin^2 a$$; 4) $$\frac12\ctg 2a$$.
