Упр.23.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$\cos^4(a)-6\sin^2(a)\cos^2(a)+\sin^4(a)$$;
   2) $$\frac{\cos(2a)}{\operatorname{ctg}(a)-\sin(2a)}$$;
   3) $$\frac{2\sin(4a)(1-\operatorname{tg}^2(2a))}{1+\operatorname{ctg}^2\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)}$$;
   4) $$\frac{2\cos^2(a)-1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}$$.

1) $$\cos^4 a-6\sin^2 a\cos^2 a+\sin^4 a$$

$$\cos^4 a-6\sin^2 a\cos^2 a+\sin^4 a = (\cos^4 a-2\sin^2 a\cos^2 a+\sin^4 a)-4\sin^2 a\cos^2 a$$
$$= (\cos^2 a-\sin^2 a)^2-(2\sin a\cos a)^2 = \cos^2 2a-\sin^2 2a = \cos 4a$$

Ответ: $$\cos 4a$$.

2) $$\dfrac{\cos 2a}{\ctg a-\sin 2a}$$

$$\dfrac{\cos 2a}{\ctg a-\sin 2a} = \dfrac{\cos 2a}{\dfrac{\cos a}{\sin a}-2\sin a\cos a} = \dfrac{\cos 2a}{\dfrac{\cos a}{\sin a}(1-2\sin^2 a)}$$
$$= \dfrac{\cos 2a}{\dfrac{\cos a}{\sin a}\cdot \cos 2a} = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \tg a$$

Ответ: $$\tg a$$.

3) $$\dfrac{2\sin 4a\,(1-\tg^2 2a)}{1+\ctg^2\left(\dfrac{\pi}{2}+2a\right)}$$

$$1+\ctg^2\left(\dfrac{\pi}{2}+2a\right)=1+\tg^2 2a$$
поэтому
$$\dfrac{2\sin 4a\,(1-\tg^2 2a)}{1+\ctg^2\left(\dfrac{\pi}{2}+2a\right)} = \dfrac{2\sin 4a\,(1-\tg^2 2a)}{1+\tg^2 2a}$$
$$=2\sin 4a\cdot \cos 4a =\sin 8a$$

Ответ: $$\sin 8a$$.

4) $$\dfrac{2\cos^2 a-1}{2\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)}$$

$$2\cos^2 a-1=\cos 2a$$
и
$$\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)}$$
Тогда
$$\dfrac{2\cos^2 a-1}{2\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)} = \dfrac{\cos 2a}{2\cdot \dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)}\cdot \sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)}$$
$$= \dfrac{\cos 2a}{2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)} = \dfrac{\cos 2a}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2a\right)} = \dfrac{\cos 2a}{\cos 2a} =1$$

Ответ: $$1$$.