Упр.23.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 23.32. Найдите sin(a), если cos(a/2)-sin(a/2)=-1/2.

Используем формулу:

$$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$

но здесь удобнее сразу возвести данное равенство в квадрат:

$$\cos\frac{a}{2}-\sin\frac{a}{2}=-\frac12.$$

Тогда

$$\left(\cos\frac{a}{2}-\sin\frac{a}{2}\right)^2=\frac14.$$

Раскроем квадрат:

$$\cos^2\frac{a}{2}+\sin^2\frac{a}{2}-2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}=\frac14.$$

Так как $$\cos^2\frac{a}{2}+\sin^2\frac{a}{2}=1,$$ получаем

$$1-\sin a=\frac14,$$

поскольку $$\sin a=2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}.$$

Тогда

$$\sin a=1-\frac14=\frac34.$$

Ответ

$$\frac34$$