Упр.23.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Упростите выражение:
1) $$\frac{\sin(2a)}{\sin(a)}$$;
2) $$\frac{\sin(2a)}{\cos^2(a)-\sin^2(a)}$$;
3) $$\cos(2a)+\sin^2(a)$$;
4) $$\frac{\sin(50^\circ)}{2\cos(25^\circ)}$$;
5) $$\frac{\cos(2a)}{\cos(a)-\sin(a)}$$;
6) $$1-2\sin^2\left(\frac{a}{4}\right)$$;
7) $$\frac{\sin^2(a)\operatorname{ctg}(a)}{\sin(2a)}$$;
8) $$\left(\sin\left(\frac{a}{4}\right)+\cos\left(\frac{a}{4}\right)\right)\left(\sin\left(\frac{a}{4}\right)-\cos\left(\frac{a}{4}\right)\right)$$;
9) $$\frac{\sin(a)\cos(a)}{1-2\sin^2(a)}$$;
10) $$\cos^4\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin^4\left(\frac{\pi}{4}-a\right)$$;
11) $$\frac{(\sin(a)+\cos(a))^2-\sin(2a)}{\cos(2a)+2\sin^2(a)}$$;
12) $$\frac{\operatorname{tg}\left(45^\circ+a\right)}{1-\operatorname{tg}^2\left(45^\circ+a\right)}$$.
1) $$\frac{\sin 2a}{\sin a}=\frac{2\sin a\cos a}{\sin a}=2\cos a.$$
2) $$\frac{\sin 2a}{\cos^2 a-\sin^2 a}=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\tg 2a.$$
3) $$\cos 2a+\sin^2 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)+\sin^2 a=\cos^2 a.$$
4) $$\frac{\sin 50^\circ}{2\cos 25^\circ}=\frac{\sin(2\cdot 25^\circ)}{2\cos 25^\circ}=\frac{2\sin 25^\circ\cos 25^\circ}{2\cos 25^\circ}=\sin 25^\circ.$$
5) $$\frac{\cos 2a}{\cos a-\sin a}=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos a-\sin a}=\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{\cos a-\sin a}=\cos a+\sin a.$$
6) $$1-2\sin^2\frac a4=\cos\frac a2.$$
7) $$\frac{\sin^2 a\cdot \ctg a}{\sin 2a}=\frac{\sin^2 a\cdot \frac{\cos a}{\sin a}}{2\sin a\cos a}=\frac{\sin a\cos a}{2\sin a\cos a}=\frac12.$$
8) $$\left(\sin\frac a4+\cos\frac a4\right)\left(\sin\frac a4-\cos\frac a4\right)=\sin^2\frac a4-\cos^2\frac a4=-\cos\frac a2.$$
9) $$\frac{\sin a\cos a}{1-2\sin^2 a}=\frac{\frac12\sin 2a}{\cos 2a}=\frac12\tg 2a.$$
10) $$\cos^4\left(\frac\pi4-a\right)-\sin^4\left(\frac\pi4-a\right)=\left(\cos^2\left(\frac\pi4-a\right)-\sin^2\left(\frac\pi4-a\right)\right)\left(\cos^2\left(\frac\pi4-a\right)+\sin^2\left(\frac\pi4-a\right)\right)$$
$$=\cos 2\left(\frac\pi4-a\right)=\cos\left(\frac\pi2-2a\right)=\sin 2a.$$
11) $$\frac{(\sin a+\cos a)^2-\sin 2a}{\cos 2a+2\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a-\sin 2a}{(\cos^2 a-\sin^2 a)+2\sin^2 a}$$
$$=\frac{1+\sin 2a-\sin 2a}{1}=1.$$
12) $$\frac{\tg(45^\circ+a)}{1-\tg^2(45^\circ+a)}=\frac12\tg\bigl(2(45^\circ+a)\bigr)=\frac12\tg(90^\circ+2a)=-\frac12\ctg 2a.$$
Ответ: 1) $$2\cos a$$; 2) $$\tg 2a$$; 3) $$\cos^2 a$$; 4) $$\sin 25^\circ$$; 5) $$\cos a+\sin a$$; 6) $$\cos\frac a2$$; 7) $$\frac12$$; 8) $$-\cos\frac a2$$; 9) $$\frac12\tg 2a$$; 10) $$\sin 2a$$; 11) $$1$$; 12) $$-\frac12\ctg 2a$$.
