Упр.23.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 23.27. Докажите, что tg(75°)-ctg(75°)=2v3.

$$ \tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=\frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ}-\frac{\cos 75^\circ}{\sin 75^\circ} =\frac{\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ}{\sin 75^\circ\cdot \cos 75^\circ} $$

Используем формулы:
$$ \sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha=-\cos 2\alpha,\qquad \sin \alpha\cos \alpha=\frac12 \sin 2\alpha. $$
Тогда
$$ \frac{\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ}{\sin 75^\circ\cdot \cos 75^\circ} = \frac{-\cos 150^\circ}{\frac12 \sin 150^\circ} =-2\ctg 150^\circ. $$

Так как
$$ 150^\circ=180^\circ-30^\circ, $$
то
$$ \ctg 150^\circ=\ctg(180^\circ-30^\circ)=-\ctg 30^\circ. $$
Следовательно,
$$ -2\ctg 150^\circ=2\ctg 30^\circ=2\sqrt{3}. $$

Ответ

$$ \tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=2\sqrt{3}. $$