Упр.23.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 23.26. Докажите, что tg(15°)+ctg(15°)=4.

Преобразуем левую часть:

$$ \tg 15^\circ+\ctg 15^\circ=\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}+\frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{\sin^2 15^\circ+\cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ} $$

Так как $$\sin^2 15^\circ+\cos^2 15^\circ=1,$$ получаем:

$$ \frac{1}{\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ} $$

Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$ при $$\alpha=15^\circ$$:

$$ \sin 30^\circ=2\sin 15^\circ\cos 15^\circ $$

Тогда

$$ \frac{1}{\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ} =\frac{2}{\sin 30^\circ} $$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ то

$$ \frac{2}{\sin 30^\circ}=\frac{2}{1/2}=4 $$

Следовательно, равенство доказано.

Ответ

$$\tg 15^\circ+\ctg 15^\circ=4$$