Упр.23.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите, что $$\operatorname{tg}(15^\circ)+\operatorname{ctg}(15^\circ)=4$$.

$$\tg 15^\circ+\ctg 15^\circ=\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}+\frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\tg 15^\circ+\ctg 15^\circ=\frac{\sin^2 15^\circ+\cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ}=\frac{1}{\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ}$$

Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha$$:

$$\sin 30^\circ=2\sin 15^\circ\cos 15^\circ$$

Тогда

$$\tg 15^\circ+\ctg 15^\circ=\frac{1}{\frac12\sin 30^\circ}=\frac{2}{\sin 30^\circ}$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12$$, получаем

$$\tg 15^\circ+\ctg 15^\circ=\frac{2}{1/2}=4.$$

Ответ: $$4$$.