Упр.23.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Докажите тождество:
1) $$\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}-4a\right)-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}+4a\right)=-\sin(8a);$$
2) $$1-2\cos(3a)+\cos(6a)=-4\sin^2\left(\frac{3a}{2}\right)\cos(3a);$$
3) $$\frac{\sin^2\left(4a-\frac{\pi}{2}\right)}{\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-2a\right)+\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+2a\right)}=-\frac{1}{4}\sin(8a);$$
4) $$\frac{2\sin(a)-\sin(2a)}{2\sin(a)+\sin(2a)}=\operatorname{tg}^2\left(\frac{a}{2}\right).$$
1)
$$\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}-4a\right)-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}+4a\right)$$
$$=\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+4a\right)\right)-\sin^2\left(\pi+\left(\frac{\pi}{4}+4a\right)\right)$$
$$=\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+4a\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+4a\right)$$
$$=\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}+4a\right)\right) =\cos\left(\frac{\pi}{2}+8a\right) =-\sin 8a.$$
Тождество доказано.
2)
$$1-2\cos 3a+\cos 6a$$
$$=1-2\cos 3a+\left(2\cos^2 3a-1\right)$$
$$=2\cos^2 3a-2\cos 3a =2\cos 3a(\cos 3a-1)$$
$$=2\cos 3a\left(-2\sin^2\frac{3a}{2}\right) =-4\sin^2\frac{3a}{2}\cos 3a.$$
Тождество доказано.
3)
$$\frac{\sin^2\left(4a-\frac{\pi}{2}\right)}{\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-2a\right)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+2a\right)} = \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-4a\right)}{\tg 2a-\ctg 2a}$$
$$= \frac{\cos^2 4a}{\frac{\sin 2a}{\cos 2a}-\frac{\cos 2a}{\sin 2a}} = \frac{\cos^2 4a}{\frac{\sin^2 2a-\cos^2 2a}{\sin 2a\cos 2a}}$$
$$= \frac{\sin 2a\cos 2a\cos^2 4a}{\sin^2 2a-\cos^2 2a} = \frac{\frac12\sin 4a\cos^2 4a}{-\cos 4a}$$
$$=-\frac12\sin 4a\cos 4a =-\frac14\sin 8a.$$
Тождество доказано.
4)
$$\frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a} = \frac{2\sin a-2\sin a\cos a}{2\sin a+2\sin a\cos a}$$
$$= \frac{2\sin a(1-\cos a)}{2\sin a(1+\cos a)} = \frac{1-\cos a}{1+\cos a}$$
$$= \frac{1-\left(1-2\sin^2\frac a2\right)}{1+\left(1-2\sin^2\frac a2\right)} = \frac{2\sin^2\frac a2}{2\cos^2\frac a2} = \tg^2\frac a2.$$
Тождество доказано.
