Упр.23.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin^2(5?/4-4a)-sin^2(5?/4+4a)=-sin(8a);
2) 1-2cos(3a)+cos(6a)=-4sin^2(3a/2)cos(3a);
3) sin^2(4a-?/2)/(ctg(3?/2-2a)+tg(3?/2+2a))=-(1/4)sin(8a);
4) (2sin(a)-sin(2a))/(2sin(a)+sin(2a))=tg^2(a/2).

1. $$\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}-4a\right)-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}+4a\right)$$
   $$=\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+4a\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+4a\right)$$
   $$=\cos 2\left(\frac{\pi}{4}+4a\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+8a\right)=-\sin 8a.$$

2. $$1-2\cos 3a+\cos 6a=1-2\cos 3a+\left(2\cos^2 3a-1\right)$$
   $$=2\cos^2 3a-2\cos 3a=2\cos 3a(\cos 3a-1)$$
   $$=2\cos 3a\left(-2\sin^2\frac{3a}{2}\right)=-4\sin^2\frac{3a}{2}\cos 3a.$$

3. $$\frac{\sin^2\left(4a-\frac{\pi}{2}\right)}{\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-2a\right)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+2a\right)}$$
   $$=\frac{\cos^2 4a}{\ctg\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)+\tg\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)}$$
   $$=\frac{\cos^2 4a}{\tg 2a-\ctg 2a}.$$

   Преобразуем знаменатель:
   $$\tg 2a-\ctg 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}-\frac{\cos 2a}{\sin 2a} =\frac{\sin^2 2a-\cos^2 2a}{\sin 2a\cos 2a}.$$
   Тогда
   $$\frac{\cos^2 4a}{\tg 2a-\ctg 2a} =\frac{\cos^2 4a\cdot \sin 2a\cos 2a}{\sin^2 2a-\cos^2 2a}.$$
   Так как
   $$\sin^2 2a-\cos^2 2a=-\cos 4a,\qquad \sin 2a\cos 2a=\frac12\sin 4a,$$
   получаем
   $$\frac{\cos^2 4a\cdot \sin 2a\cos 2a}{\sin^2 2a-\cos^2 2a} =-\frac12\sin 4a\cos 4a =-\frac14\sin 8a.$$

4. $$\frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a} =\frac{2\sin a-2\sin a\cos a}{2\sin a+2\sin a\cos a}$$
   $$=\frac{2\sin a(1-\cos a)}{2\sin a(1+\cos a)} =\frac{1-\cos a}{1+\cos a}.$$
   Используем формулы половинного угла:
   $$1-\cos a=2\sin^2\frac{a}{2},\qquad 1+\cos a=2\cos^2\frac{a}{2}.$$
   Тогда
   $$\frac{1-\cos a}{1+\cos a} =\frac{2\sin^2\frac{a}{2}}{2\cos^2\frac{a}{2}} =\tg^2\frac{a}{2}.$$

Ответ

1) $$-\sin 8a$$; 2) $$-4\sin^2\frac{3a}{2}\cos 3a$$; 3) $$-\frac14\sin 8a$$; 4) $$\tg^2\frac{a}{2}$$.