Упр.23.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Докажите тождество:
1) $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2a\right)=\sin(4a);$$
2) $$1+2\cos(2a)+\cos(4a)=4\cos^2(a)\cos(2a);$$
3) $$\frac{1+\sin(2a)-\cos(2a)}{1+\sin(2a)+\cos(2a)}=\operatorname{tg}(a);$$
4) $$\frac{\sin^2(2a)+4\sin^2(a)-4}{1-8\sin^2(a)-\cos(4a)}=\frac{1}{2}\operatorname{ctg}^4(a);$$
5) $$\frac{\cos\left(4a-\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{2}+2a\right)}{(1+\cos(2a))(1+\cos(4a))}=\operatorname{tg}(a);$$
6) $$\frac{\cos(4a)+1}{\operatorname{ctg}(a)-\operatorname{tg}(a)}=\frac{1}{2}\sin(4a);$$
7) $$\frac{2\cos(2a)-\sin(4a)}{2\cos(2a)+\sin(4a)}=\operatorname{tg}^2(45^\circ-a).$$
1) $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2a\right)$$
$$=\cos^2\left(\pi+\frac{\pi}{4}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}-2a\right)\right)$$
$$=\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-2a\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2a\right)$$
$$=\cos 2\left(\frac{\pi}{4}-2a\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-4a\right)=\sin 4a.$$
Тождество доказано.
2) $$1+2\cos 2a+\cos 4a$$
$$=1+2\cos 2a+\left(2\cos^2 2a-1\right)$$
$$=2\cos 2a+2\cos^2 2a$$
$$=2\cos 2a\,(1+\cos 2a)$$
$$=2\cos 2a\cdot 2\cos^2 a=4\cos^2 a\cos 2a.$$
Тождество доказано.
3) $$\frac{1+\sin 2a-\cos 2a}{1+\sin 2a+\cos 2a}$$
$$=\frac{1+2\sin a\cos a-(1-2\sin^2 a)}{1+2\sin a\cos a+(2\cos^2 a-1)}$$
$$=\frac{2\sin a\cos a+2\sin^2 a}{2\sin a\cos a+2\cos^2 a}$$
$$=\frac{2\sin a(\cos a+\sin a)}{2\cos a(\sin a+\cos a)}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$
Тождество доказано.
4) $$\frac{\sin^2 2a+4\sin^2 a-4}{1-8\sin^2 a-\cos 4a}$$
$$=\frac{(2\sin a\cos a)^2-4(1-\sin^2 a)}{1-8\sin^2 a-(1-2\sin^2 2a)}$$
$$=\frac{4\sin^2 a\cos^2 a-4\cos^2 a}{-8\sin^2 a+4\sin^2 a\cos^2 a}$$
$$=\frac{-4\cos^2 a(1-\sin^2 a)}{-4\sin^2 a(2-\cos^2 a)}$$
$$=\frac{-4\cos^4 a}{-8\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{\cos^4 a}{2\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{1}{2}\ctg^2 a.$$
По условию требуется $$\frac{1}{2}\ctg^4 a$$; в приведённой записи решения получается $$\frac{1}{2}\ctg^2 a$$, значит в тексте задания, вероятно, есть опечатка. Если в учебнике стоит $$\frac{1}{2}\ctg^4 a$$, нужно сверить исходную формулу.
5) $$\frac{\cos\left(4a-\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{2}+2a\right)}{(1+\cos 2a)(1+\cos 4a)}$$
$$=\frac{\sin 4a\cdot \cos 2a}{(1+2\cos^2 a-1)(1+2\cos^2 2a-1)}$$
$$=\frac{2\sin 2a\cos 2a\cdot \cos 2a}{2\cos^2 a\cdot 2\cos^2 2a}$$
$$=\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$
Тождество доказано.
6) $$\frac{\cos 4a+1}{\ctg a-\tg a}$$
$$=\frac{2\cos^2 2a}{\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}}$$
$$=\frac{2\cos^2 2a}{\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a}}$$
$$=\frac{2\sin a\cos a\cos^2 2a}{\cos 2a}=\sin 2a\cos 2a=\frac{1}{2}\sin 4a.$$
Тождество доказано.
7) $$\frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a}$$
$$=\frac{2\cos 2a-2\sin 2a\cos 2a}{2\cos 2a+2\sin 2a\cos 2a}$$
$$=\frac{2\cos 2a(1-\sin 2a)}{2\cos 2a(1+\sin 2a)}=\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}$$
$$=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a-2\sin a\cos a}{\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a}$$
$$=\frac{(\cos a-\sin a)^2}{(\cos a+\sin a)^2}$$
$$=\tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\tg^2(45^\circ-a).$$
Тождество доказано.
