Упр.23.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Дано: $$\cos a=\frac{3}{4}$$, $$0

Так как $$\cos a=\frac34$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ принадлежит первой четверти, значит $$\sin a>0,$$ $$\cos a>0.$$

Используем формулы половинного угла:

$$\sin \frac a2=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}, \qquad \cos \frac a2=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}, \qquad \tg \frac a2=\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}.$$

Подставим $$\cos a=\frac34$$:

$$\sin \frac a2=\sqrt{\frac{1-\frac34}{2}}=\sqrt{\frac{\frac14}{2}}=\sqrt{\frac18}=\frac{\sqrt2}{4},$$
$$\cos \frac a2=\sqrt{\frac{1+\frac34}{2}}=\sqrt{\frac{\frac74}{2}}=\sqrt{\frac78}=\frac{\sqrt{14}}{4},$$
$$\tg \frac a2=\sqrt{\frac{1-\frac34}{1+\frac34}}=\sqrt{\frac{\frac14}{\frac74}}=\sqrt{\frac17}=\frac{\sqrt7}{7}.$$

Ответ

$$\sin \frac a2=\frac{\sqrt2}{4}, \qquad \cos \frac a2=\frac{\sqrt{14}}{4}, \qquad \tg \frac a2=\frac{\sqrt7}{7}.$$