Упр.23.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 23.20. Дано: cos(a)=3/4, 0 < a < ?/2. Найдите sin(a/2), cos(a/2), tg(a/2).

Так как $$\cos a=\frac{3}{4}$$ и угол $$a$$ лежит в первой четверти, то $$0<a<\frac{\pi}{2}$$. Следовательно, $$\sin a>0$$, $$\cos a>0$$, $$\tg a>0$$.

Используем формулы половинного угла:

$$\sin \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}$$
$$\cos \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}$$
$$\tg \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}$$

Подставим $$\cos a=\frac{3}{4}$$:

$$\sin \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$
$$\cos \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{7}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$$
$$\tg \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{4}}{1+\frac{3}{4}}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}}=\sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$$

Ответ

$$\sin \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4},\quad \cos \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{14}}{4},\quad \tg \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{7}}{7}.$$