Упр.23.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(6a)/sin(2a)+sin(6a)/cos(2a); 4) (cos(a)/(1+sin(a))+cos(a)/(1-sin(a)))sin(2a);
2) (2cos(2a))/(ctg(a)-tg(a)); 5) (ctg(a)-ctg(2a))sin(2a);
3) tg(a)/(1+tg(a))+tg(a)/(1-tg(a)); 6) (cos(2a)+1-cos^2(a))/cos(?/2+2a).

1. $$\frac{\cos 6a}{\sin 2a}+\frac{\sin 6a}{\cos 2a}= \frac{\cos 6a\cdot \cos 2a+\sin 6a\cdot \sin 2a}{\sin 2a\cdot \cos 2a}$$
   $$=\frac{\cos(6a-2a)}{\frac12\sin 4a}= \frac{\cos 4a}{\frac12\sin 4a}=2\ctg 4a.$$

2. $$\frac{2\cos 2a}{\ctg a-\tg a}= \frac{2\cos 2a}{\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}}= \frac{2\cos 2a\cdot \sin a\cos a}{\cos^2 a-\sin^2 a}$$
   $$=\frac{2\cos 2a\cdot \sin a\cos a}{\cos 2a}= 2\sin a\cos a=\sin 2a.$$

3. $$\frac{\tg a}{1+\tg a}+\frac{\tg a}{1-\tg a}= \frac{\tg a(1-\tg a)+\tg a(1+\tg a)}{(1+\tg a)(1-\tg a)}$$
   $$=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}=\tg 2a.$$

4. $$\left(\frac{\cos a}{1+\sin a}+\frac{\cos a}{1-\sin a}\right)\sin 2a=$$
   $$=\frac{\cos a(1-\sin a)+\cos a(1+\sin a)}{(1+\sin a)(1-\sin a)}\sin 2a$$
   $$=\frac{2\cos a}{1-\sin^2 a}\sin 2a= \frac{2\cos a}{\cos^2 a}\cdot 2\sin a\cos a=4\sin a.$$

5. $$(\ctg a-\ctg 2a)\sin 2a= \left(\ctg a-\frac{\cos 2a}{\sin 2a}\right)\sin 2a$$
   $$=\ctg a\cdot \sin 2a-\cos 2a= \frac{\cos a}{\sin a}\cdot 2\sin a\cos a-\cos 2a$$
   $$=2\cos^2 a-(\cos^2 a-\sin^2 a)=\cos^2 a+\sin^2 a=1.$$

6. $$\frac{\cos 2a+1-\cos^2 a}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)}= \frac{(\cos^2 a-\sin^2 a)+1-\cos^2 a}{-\sin 2a}$$
   $$=\frac{1-\sin^2 a-\sin^2 a}{-\sin 2a}= \frac{\cos^2 a}{-\sin 2a}= \frac{\cos^2 a}{-2\sin a\cos a}$$
   $$=-\frac{\cos a}{2\sin a}=-\frac12\ctg a.$$

Ответ

1) $$2\ctg 4a$$; 2) $$\sin 2a$$; 3) $$\tg 2a$$; 4) $$4\sin a$$; 5) $$1$$; 6) $$-\frac12\ctg a$$.