Упр.23.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Упростите выражение:
- 1) $$\frac{\cos(6a)}{\sin(2a)}+\frac{\sin(6a)}{\cos(2a)}$$;
- 4) $$\left(\frac{\cos(a)}{1+\sin(a)}+\frac{\cos(a)}{1-\sin(a)}\right)\sin(2a)$$;
- 2) $$\frac{2\cos(2a)}{\operatorname{ctg}(a)-\operatorname{tg}(a)}$$;
- 5) $$\left(\operatorname{ctg}(a)-\operatorname{ctg}(2a)\right)\sin(2a)$$;
- 3) $$\frac{\operatorname{tg}(a)}{1+\operatorname{tg}(a)}+\frac{\operatorname{tg}(a)}{1-\operatorname{tg}(a)}$$;
- 6) $$\frac{\cos(2a)+1-\cos^2(a)}{\cos(?/2+2a)}$$.
1)
$$\frac{\cos 6a}{\sin 2a}+\frac{\sin 6a}{\cos 2a} = \frac{\cos 6a\cdot \cos 2a+\sin 6a\cdot \sin 2a}{\sin 2a\cdot \cos 2a} = \frac{\cos(6a-2a)}{\frac12\sin 4a}$$
$$= \frac{\cos 4a}{\frac12\sin 4a} = 2\ctg 4a$$
2)
$$\frac{2\cos 2a}{\ctg a-\tg a} = \frac{2\cos 2a}{\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{2\cos 2a\cdot \sin a\cos a}{\cos^2 a-\sin^2 a}$$
$$= \frac{2\cos 2a\cdot \sin a\cos a}{\cos 2a} = 2\sin a\cos a = \sin 2a$$
3)
$$\frac{\tg a}{1+\tg a}+\frac{\tg a}{1-\tg a} = \frac{\tg a(1-\tg a)+\tg a(1+\tg a)}{(1+\tg a)(1-\tg a)}$$
$$= \frac{2\tg a}{1-\tg^2 a} = \tg 2a$$
4)
$$\left(\frac{\cos a}{1+\sin a}+\frac{\cos a}{1-\sin a}\right)\sin 2a = \frac{\cos a(1-\sin a)+\cos a(1+\sin a)}{(1+\sin a)(1-\sin a)}\sin 2a$$
$$= \frac{2\cos a}{1-\sin^2 a}\sin 2a = \frac{2\cos a}{\cos^2 a}\cdot 2\sin a\cos a = 4\sin a$$
5)
$$(\ctg a-\ctg 2a)\sin 2a = \left(\ctg a-\frac{\cos 2a}{\sin 2a}\right)\sin 2a = \ctg a\cdot \sin 2a-\cos 2a$$
$$= \frac{\cos a}{\sin a}\cdot 2\sin a\cos a-\cos 2a = 2\cos^2 a-(\cos^2 a-\sin^2 a) = \cos^2 a+\sin^2 a = 1$$
6)
$$\frac{\cos 2a+1-\cos^2 a}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)} = \frac{(\cos^2 a-\sin^2 a)+1-\cos^2 a}{-\sin 2a} = \frac{1-\sin^2 a-\sin^2 a}{-\sin 2a}$$
$$= \frac{\cos^2 a}{-\sin 2a} = \frac{\cos^2 a}{-2\sin a\cos a} = -\frac{\cos a}{2\sin a} = -\frac12\ctg a$$
Ответ: 1) $$2\ctg 4a$$; 2) $$\sin 2a$$; 3) $$\tg 2a$$; 4) $$4\sin a$$; 5) $$1$$; 6) $$-\frac12\ctg a$$.
