Упр.23.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

1) $$2\sin^2(a)+\cos(2a)=1$$;
3) $$\frac{1-\cos(2a)}{\sin^2(a)}=2$$;
2) $$\operatorname{ctg}(3a)(1-\cos(6a))=\sin(6a)$$;
4) $$\frac{1-\cos(4a)}{1+\cos(4a)}=\operatorname{tg}^2(2a)$$.

1) $$2\sin^2 a+\cos 2a=2\sin^2 a+(\cos^2 a-\sin^2 a)=\sin^2 a+\cos^2 a=1.$$

Тождество доказано.

2) $$\ctg 3a\,(1-\cos 6a)=\ctg 3a\cdot 2\sin^2 3a=2\cdot \frac{\cos 3a}{\sin 3a}\cdot \sin^2 3a=2\sin 3a\cos 3a=\sin 6a.$$

Тождество доказано.

3) $$\frac{1-\cos 2a}{\sin^2 a}=\frac{2\sin^2 a}{\sin^2 a}=2.$$

Тождество доказано.

4) $$\frac{1-\cos 4a}{1+\cos 4a}=\frac{2\sin^2 2a}{2\cos^2 2a}=\tg^2 2a.$$

Тождество доказано.