Упр.23.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите $$\operatorname{tg}(2a)$$, если:
   1) $$\operatorname{ctg}(a)=2$$;
   2) $$\cos(a)=-\frac{3}{5}$$ и $$\pi

Используем формулу двойного угла:

$$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}.$$

1. Если $$\ctg a=2,$$ то

   $$\tg a=\frac{1}{\ctg a}=\frac{1}{2}.$$

   Тогда

   $$\tg 2a=\frac{2\cdot \frac12}{1-\left(\frac12\right)^2} =\frac{1}{1-\frac14} =\frac{1}{\frac34} =\frac43.$$

2. Если $$\cos a=-\frac35$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в третьей четверти, значит $$\sin a<0.$$

   Найдём синус:

   $$\sin a=-\sqrt{1-\cos^2 a} =-\sqrt{1-\left(-\frac35\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac45.$$

   Тогда

   $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-\frac45}{-\frac35} =\frac43.$$

   Теперь найдём $$\tg 2a$$:

   $$\tg 2a=\frac{2\cdot \frac43}{1-\left(\frac43\right)^2} =\frac{\frac83}{1-\frac{16}{9}} =\frac{\frac83}{-\frac79} =-\frac{24}{7}.$$

Ответ: 1) $$\frac43$$; 2) $$-\frac{24}{7}$$.