Упр.22.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (1+v2)^(1/3)·(3-2v2)^(1/6);
2) (7+4v3)^(1/4)·v(2-v3).

1. $$\sqrt[3]{1+\sqrt2}\cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt2}$$

   Приведём первый множитель к шестой степени:

   $$\sqrt[3]{1+\sqrt2}=\sqrt[6]{(1+\sqrt2)^2}$$

   Тогда

   $$ \sqrt[6]{(1+\sqrt2)^2}\cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt2} =\sqrt[6]{(1+\sqrt2)^2(3-2\sqrt2)}. $$

   Вычислим произведение под корнем:

   $$ (1+\sqrt2)^2=1+2\sqrt2+2=3+2\sqrt2, $$
   $$ (3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)=9-8=1. $$

   Значит,

   $$\sqrt[6]{1}=1.$$

2. $$\sqrt[4]{7+4\sqrt3}\cdot \sqrt{2-\sqrt3}$$

   Представим второй множитель как корень четвёртой степени:

   $$\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt[4]{(2-\sqrt3)^2}.$$

   Тогда

   $$ \sqrt[4]{7+4\sqrt3}\cdot \sqrt[4]{(2-\sqrt3)^2} =\sqrt[4]{(7+4\sqrt3)(2-\sqrt3)^2}. $$

   Найдём квадрат:

   $$ (2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3. $$

   Следовательно,

   $$ \sqrt[4]{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)} =\sqrt[4]{49-48} =\sqrt[4]{1}=1. $$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$.