Упр.22.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите значение выражения:

1. $$\left(1+\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\left(3-2\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{6}}$$;
2. $$\left(7+4\sqrt{3}\right)^{\frac{1}{4}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}$$.

1) $$\sqrt[3]{1+\sqrt2}\cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt2}$$

Приведём первый множитель к шестой степени:

$$\sqrt[3]{1+\sqrt2}=\sqrt[6]{(1+\sqrt2)^2}$$

Тогда

$$\sqrt[6]{(1+\sqrt2)^2}\cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt2}=\sqrt[6]{(1+\sqrt2)^2(3-2\sqrt2)}$$

Так как

$$(1+\sqrt2)^2=1+2\sqrt2+2=3+2\sqrt2,$$

получаем

$$\sqrt[6]{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)}=\sqrt[6]{9-8}=\sqrt[6]{1}=1.$$

2) $$\sqrt[4]{7+4\sqrt3}\cdot \sqrt{2-\sqrt3}$$

Приведём второй множитель к четвёртой степени:

$$\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt[4]{(2-\sqrt3)^2}$$

Тогда

$$\sqrt[4]{7+4\sqrt3}\cdot \sqrt[4]{(2-\sqrt3)^2}=\sqrt[4]{(7+4\sqrt3)(2-\sqrt3)^2}$$

Вычислим квадрат:

$$(2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\sqrt[4]{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)}=\sqrt[4]{49-48}=\sqrt[4]{1}=1.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$.