Упр.22.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^2-10)/x?3; 2) (x^2+x)/(x-2)?6/(x-2); 3) (x^2-3x-4)/(2x^2-x-3)?0.

1. $$\frac{x^2-10}{x}\ge 3$$

   Перенесём $3$ в левую часть:
   $$\frac{x^2-10-3x}{x}\ge 0,$$
   $$\frac{x^2-3x-10}{x}\ge 0.$$

   Разложим числитель на множители:
   $$x^2-3x-10=(x+2)(x-5).$$
   Тогда
   $$\frac{(x+2)(x-5)}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

   Критические точки: $-2$, $0$, $5$. По знакам получаем:
   $$x\in[-2;0)\cup[5;+\infty).$$

2. $$\frac{x^2+x}{x-2}\ge \frac{6}{x-2}$$

   Перенесём правую часть влево:
   $$\frac{x^2+x-6}{x-2}\ge 0,\qquad x\ne 2.$$

   Разложим числитель:
   $$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$
   Тогда
   $$\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}\ge 0,\qquad x\ne 2.$$

   При $x\ne 2$ получаем:
   $$x+3\ge 0,\qquad x\ne 2.$$
   Значит,
   $$x\in[-3;2)\cup(2;+\infty).$$

3. $$\frac{x^2-3x-4}{2x^2-x-3}\le 0$$

   Разложим на множители:
   $$x^2-3x-4=(x+1)(x-4),$$
   $$2x^2-x-3=(2x-3)(x+1).$$
   Тогда
   $$\frac{(x+1)(x-4)}{(2x-3)(x+1)}\le 0,\qquad x\ne -1,\; x\ne \frac32.$$

   Сократим на $x+1$:
   $$\frac{x-4}{2x-3}\le 0,\qquad x\ne -1,\; x\ne \frac32.$$

   Критические точки: $-1$, $\frac32$, $4$. По знакам получаем:
   $$x\in\left(\frac32;4\right].$$

Ответ

1) $$x\in[-2;0)\cup[5;+\infty)$$

2) $$x\in[-3;2)\cup(2;+\infty)$$

3) $$x\in\left(\frac32;4\right]$$