Упр.22.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos^2(?/4+a)+cos^2(?/4-a)+sin(3?/2-a)cos(3?/2+a)tg(?+a);
2) cos^2(20°-a)/sin^2(70°+a)+tg(a+10°)ctg(80°-a).

1. $$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)\tg(\pi+a)$$

   Используем формулы приведения:
   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right),$$
   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=-\cos a,\quad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)=\sin a,\quad \tg(\pi+a)=\tg a.$$

   Тогда
   $$ \cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos a\cdot \sin a\cdot \frac{\sin a}{\cos a} $$
   $$ =1-\sin^2 a=\cos^2 a. $$

2. $$\frac{\cos^2(20^\circ-a)}{\sin^2(70^\circ+a)}+\tg(a+10^\circ)\ctg(80^\circ-a)$$

   Так как
   $$\sin(70^\circ+a)=\cos(20^\circ-a),$$
   $$\ctg(80^\circ-a)=\tg(10^\circ+a),$$
   получаем
   $$ \frac{\cos^2(20^\circ-a)}{\cos^2(20^\circ-a)}+\tg(a+10^\circ)\tg(a+10^\circ) $$
   $$ =1+\tg^2(10^\circ+a)=\frac{1}{\cos^2(10^\circ+a)}. $$

Ответ

1) $$\cos^2 a$$; 2) $$\frac{1}{\cos^2(10^\circ+a)}$$.