Упр.22.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{11}+\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{22}$$.

$$\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{11}+\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{22}$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{11}+\cos^2\frac{5\pi}{22}$$

Используем формулу $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$:

$$\cos\frac{\pi}{8}=\sin\frac{3\pi}{8}, \qquad \cos\frac{3\pi}{11}=\sin\frac{5\pi}{22}$$

Тогда

$$\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8}=\sin^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8}=1,$$

$$\cos^2\frac{3\pi}{11}+\cos^2\frac{5\pi}{22}=\sin^2\frac{5\pi}{22}+\cos^2\frac{5\pi}{22}=1.$$

Следовательно,

$$\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{11}+\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{22}=1+1=2.$$

Ответ

$$2$$