Упр.22.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 22.14. Найдите значение выражения cos^2(?/8)+cos^2(3?/11)+cos^2(3?/8)+cos^2(5?/22).

Используем формулу $$\cos^2 x=\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right).$$ Тогда

$$ \cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{11}+\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{22} $$
$$ =\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{11}\right)+\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{22} $$
$$ =\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{22}+\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{22}. $$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$ \cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8} =\cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8}=1, $$
$$ \cos^2\frac{3\pi}{11}+\cos^2\frac{5\pi}{22} =\sin^2\frac{5\pi}{22}+\cos^2\frac{5\pi}{22}=1. $$

Тогда всё выражение равно

$$ 1+1=2. $$

Ответ

$$2$$