Упр.22.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) tg(10°)tg(20°)tg(30°)·…·tg(70°)tg(80°);
2) ctg(15°)+ctg(30°)+ctg(45°)+…+ctg(165°).

1) Используем формулу $$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha.$$ Тогда

$$ \tg 10^\circ\cdot \tg 20^\circ\cdot \tg 30^\circ\cdot \ldots \cdot \tg 70^\circ\cdot \tg 80^\circ $$
$$ = \tg 10^\circ\cdot \tg 20^\circ\cdot \tg 30^\circ\cdot \ldots \cdot \ctg 30^\circ\cdot \ctg 20^\circ\cdot \ctg 10^\circ $$
$$ =1\cdot 1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1=1. $$

2) Сгруппируем слагаемые, используя формулу $$\ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha.$$ Тогда

$$ \ctg 15^\circ+\ctg 30^\circ+\ctg 45^\circ+\ldots+\ctg 165^\circ $$
$$ = \ctg 15^\circ+\ctg 30^\circ+\ctg 45^\circ+\ldots+\ctg 90^\circ+\ldots+\ctg(180^\circ-45^\circ)+\ctg(180^\circ-30^\circ)+\ctg(180^\circ-15^\circ) $$
$$ = \ctg 15^\circ+\ctg 30^\circ+\ctg 45^\circ+\ldots+\ctg 90^\circ+\ldots-\ctg 45^\circ-\ctg 30^\circ-\ctg 15^\circ=0. $$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$0$$.